南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案).docxVIP

南京市第二十七高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知i为虚数单位，若复数，则z的虚部为()

A. B. C.0 D.1

2．已知直线与直线平行，则a的值为()

A. B.1 C. D.0

3．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为()

A. B. C. D.

4．开普勒第一定律也称椭圆定律?轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星P在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星C的近日点距离和远日点距离之和是20（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是81，则()

A.181 B.97 C.52 D.19

5．已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为()

A. B. C. D.

6．已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为()

A. B. C. D.

7．已知角，且，则()

A. B.或 C. D.或

8．已知A，B是圆上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为()

A.2 B.3 C.4 D.7

二、多项选择题

9．下列说法正确的是()

A.直线的倾斜角为120°

B.经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为

C.直线恒过定点

D.已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A?B两点，则面积的最小值为4

10．已知圆，圆，则下列选项正确的是()

A.直线MN的方程为

B.若P?Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5

C.圆M和圆N的一条公切线长为

D.经过点M?N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是()

A.若，则

B.若，则是锐角三角形

C.若，，，则符合条件有两个

D.对任意，都有

12．在边长为2的正方体中，M，N分别是BC，的中点，则()

A.AM与为异面直线

B.

C.点到平面的距离为2

D.若点Q为线段上的一动点，则的范围

三、填空题

13．若椭圆的离心率为，则m的值为___________.

14．已知向量，的夹角为，且，，则在上投影向量的坐标为___________.

15．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱为一“堑堵”，其中，，，且该“堑堵”外接球的表面积为，则该“堑堵”的高为___________.

16．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是___________.

四、解答题

17．在中，，，.

（1）求BC边高线所在的直线的方程；

（2）过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B?C到l的距离之比为，求D的坐标.

18．如图，在三棱锥中，底面ABC，.

（1）求证：平面平面PBC；

（2）若M是PC的中点，二面角的大小为45°且，求直线与平面所成角的正切值.

19．在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中且满足___________.

（1）求角C的大小；

（2）若的面积为，求的周长.

20．已知圆C经过?两点，且圆心在直线上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）过点的直线l与圆C相交于P?Q两点，且，求直线l的方程.

21．如图，在正方体中，点E?F分别为棱?的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.

（1）证明：直线平面；

（2）证明：.

22．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线l交椭圆E于P，Q两点（点P位于第三象限），点P关于原点O的对称点为R.当时，的面积为1，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若的面积为，求直线l的方程.

参考答案

1．答案：B

解析：由题可得，则z的虚部为，

故选B.

2．答案：A

解析：因为，所以，解得.

故选：A.

3．答案：B

解析：因为，则直线与所成的角即为直线与所成的角，

如图，连接，可知直线与所成的角即为（或其补角），

则，

因为平面，平面，则，

在，可知，且为锐角，则，

所以直线与所成的角为.

故选：B.

4．答案：A

解析：设某行星运行轨道（椭圆）的长半轴长和短半轴长分别为,，则半焦距为，所以行星C的近日点距离为，远日点距离为，

由题意，解得,，所以.

故选：A

5．答案：A

解析：因为，

即，解得，

所以，夹角的余弦值为.

故选：A.

6．答案：D