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?研究系统稳定性的意义?稳定性的定义?闭环极点和稳定性的关系?劳斯判据?奈奎斯特判据?系统稳定性的改进?系列设计举例
?闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。因此寻找方法来分析和设计稳定系统。?如果输入是有界的,那么稳定系统的输出也是有界的,这叫做有界输入—有界输出稳定性,这是本章的主题。?研究稳定性包含两个目的:–判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度;–如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及如何提高稳定程度。
?平衡状态:系统在没有输入作用和外部干扰(称为扰动)作用时,处于自由运动状态。当系统达到某一状态后会维持在该种状态下而不再发生变化,这样的状态称为该系统的平衡状态。?一个闭环系统或者是稳定的,或者是不稳定的,这种特征称为绝对稳定性。进一步描述稳定的程度,就是相对稳定性。
?控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后,若系统能够逐渐地恢复到平衡状态,则称系统是渐近稳定的,简称稳定。?若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不稳定的。
(a)大范围稳定的系统(b)局部渐近稳定的系统(c)不稳定的系统
?大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定性完全取决于系统自身的结构和参数,而和扰动的性质无关。?局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自身的结构和参数而且和扰动的性质有关。?线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳定的。
?在礼堂扩音的音频放大器和扬声器系统的有反馈失稳效应。扬声器产生的音频信号是由麦克风采集的声音放大得到的。除了其他的音频输入,来自于扬声器本身的声音可能会被麦克风探测到,形成正反馈。由于空气的衰减特性,距离越远,到达麦克风的信号越弱。如果扬声器和麦克风之间太靠近,系统将会不稳定。结果是对音频信号过分放大和畸变,甚至振荡的啸叫。
?第一座在华盛顿横跨塔克马峡谷的桥梁于1940年7月1日开通。人们发现这座桥只要刮风就会振荡。四个月后,11月7日碰到一场风速为19m/s的风,桥剧烈地扭曲振动,且振幅越来越大,直到桥面倾斜到45°左右,使吊杆逐根拉断,导致桥面钢梁折断而塌毁。正好有一支好莱坞电影队以此桥为外景拍摄,记录了全过程。
?线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复平面的位置所决定
?单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的充分必要条件是:系统所有的闭环极点都在S平面的左半平面。或者说:所有的闭环极点都具有负的实部。?多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件是:系统矩阵A的全部特征值都位于S平面的左半平面或都具有负实部。
?劳斯判定是一种代数判定,它是依据代数方程根与系数关系来得到结论。?代数方法是使用系统的闭环结果,即获得系统的特征方程或特征多项式。?系统稳定的必要条件是:系统特征方程的诸系数不能为零且同号。?劳斯判据是一个线性系统稳定性的充要判据。
设系统特征方程为:(1)表头的填法:第一行:第一列填入a值。第二列填a值,nn-2依此类推,后一列和前一列是s相差两次幂的对应系数。第二行:第一列填入a值,后续诸列单元值n-1依次为相差两次幂之系数。
(2)表体的填法:设表体某单元的值为A(i≥3),约定在i<3时的A值即为该表头位i,ji,j置之值。A的值由下式求出:i,j重要的是正确找到行列式中的四个元素,所求单元上两行第一列的值和该单元上两行其后一列的值。
例3.1设系统的特征方程如下,填出劳斯表。12s+6s+32s+7s+3=0432123236718363
1.某行各单元值中含有分数:若某行中含有分数,则该行同乘以一个不为零的正的常数,劳斯表结果不发生改变。2.某行所有单元值为零:此种情况系统肯定是不稳定的,但若为其它目的可按下述方法处理。用该行的上一行对应单元值建立一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系数代替全零行各单元值并继续计算。
?重要性质:若某行所有单元值全为零,则该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环极点。3.某行的第一列单元值为零:此种情况的存在系统一定是不稳定的,若需要进一步填写劳斯表,则用一个无穷小的正数?代替该行第一列的零值后继续计算。
例3.2设系统的特征方程如下,填出劳斯表。-9s-10=0s76543-4s2+4s+9s+10s-s19-1-9150--42--150131/20-1-31/210-1取上行做辅助方程:0s4-1=0,求导得本行系数ε0-14/ε-1
?若系统劳斯表第一列的所有单元值均为正数则系统是稳定的,否则系统是不稳定的。?系统具有正实部的闭环极点个数等于劳斯表第一列诸值符号改变次数的总和。?在例3.1
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