沪教版八年级数学上册,勾股定理.pdfVIP

勾股定理

1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；

2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；

3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．

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如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c．

（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．

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（3）勾股定理公式a+b=c的变形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．

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（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条

直角边．

2.直角三角形的性质

（1）有一角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．

性质2：在直角三角形中，两锐角___．

性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的

中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

性质5：在直角三角形中，如果有一锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角

等于___．

3．勾股定理的应用

（）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

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（）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从

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题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

（）常见的类型：

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①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边

长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一无理数表示成直角边是两正整

数的直角三角形的斜边．

4．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短

路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关

结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

参考答案：

1.（1）斜边长；（2）直角

2.（2）互余中线一半30°

4.（1）线段最短

1.勾股定理．

【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长

为（）

A．21B．15C．6D．以上答案都不对．

【解析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依

据勾股定理即可求解．

解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6．

当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；

当AD在三角形的外部时，BC=15﹣6=9．则BC的长是21或9．

故选D．

练1.（2014秋•绥化六中质检）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△