高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）1.3 空间向量及其运算的坐标表示(附答案).docxVIP

1.3空间向量及其运算的坐标表示

【考点梳理】

考点一空间直角坐标系

1．空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

2．右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

考点二空间一点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

考点三空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

考点四空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有

向量运算

向量表示

坐标表示

加法

a＋b

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

减法

a－b

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数乘

λa

λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R

数量积

a·b

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

考点五空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有

当b≠0时，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；

cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).

考点六空间两点间的距离公式

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2).

【题型归纳】

题型一：空间向量的正交分解问题

1．（2021·全国·高二期中）已知向量是空间向量的一组基底，向量，，是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，，，则向量在基底，，下的坐标为（???????）

A．，， B．，， C．，， D．，，

2．（2021·山东枣庄·高二期中）已知，，，若，，共面，则z的值是（???????）

A． B．5 C． D．9

3．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）已知向量，则与共线的一个单位向量（???????）

A． B． C． D．

题型二：空间向量的坐标运算问题

4．（2022·内蒙古乌兰察布·高二期末（理））已知向量，则（???????）

A． B． C． D．

5．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知空间向量，，，则（???????）

A． B． C． D．

6．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（???????）

A．4 B． C．2 D．不确定

题型三：空间向量的模长的坐标问题

7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二（理））设、，向量，，且，，则（??????????）

A． B． C． D．

8．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二（理））若向量，，则（???????）

A． B． C． D．

9．（2021·全国·高二）已知向量，，若与夹角为，则的值为（???????）

A．