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2023-2024学年高二上学期人教A版(2019)期末达标测
数学试卷A卷
【满分:150分】
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知为等差数列,首项,公差,若,则()
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知,,且,则向量与的夹角为()
A. B. C. D.
3.已知定点,点P为圆上的动点,点Q为直线上的动点.当取最小值时,设的面积为S,则()
A. B. C. D.
4.已知等比数列的公比为,前项和为.若,,则()
A.3 B.4 C.5 D.7
5.设双曲线的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若且的面积为,则C的方程为
A. B. C. D.
6.已知m是方程的一个根,则()
A1 B.2 C.3 D.5
7.已知椭圆,O为坐标原点,直线l交椭圆于A,B两点,M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为,则C的离心率为()
A. B. C. D.
8.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.是等差数列,公差为d,前项和为,若,,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
10.已知函数,则()
A.曲线在点处的切线方程为
B.有两个极值点
C,都能使方程有三个实数根
D.曲线是中心对称图形
11.如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD,则()
A.
B.PB与平面ABCD所成角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值
D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为45°
12.已知,是抛物线上两点,焦点为F,抛物线上一点到焦点的距离为,下列说法正确的是()
A.
B.若,则直线恒过定点
C.若的外接圆与抛物线的准线相切,则该圆的半径为
D.若,则直线的斜率为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若是等比数列,,,且公比为整数,则______.
14.已知直线是曲线在点处的切线方程,则_____________
15.写出与两圆均相切一条直线方程为___________.
16.在棱长为3的正方体中,点E,F分别在棱AB,BC上,,点G,H为棱上的动点.若平面平面,,则=___.
四、解答题:本题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前n项和,.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)已知,求数列的前n项和.
18.已知椭圆的离心率为,依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆E标准方程;
(2)设点F为E的右焦点,,直线l交E于P,Q(均不与点A重合)两点,直线的斜率分别为,若,求△FPQ的周长
19.已知函数,.
(1)若的极大值为1,求实数a的值;
(2)若,求证:.
20.如图(1),菱形中,,动点E,F分别边上(不含端点),且,沿将向上折起得到,使得平面平面,如图(2)所示.
(1)当为何值时,;
(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面和平面夹角的大小.
21.设A,B为双曲线C:的左、右顶点,直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,为等腰直角三角形.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)已知,若直线AM,AN分别交直线于P,Q两点,若为x轴上一动点,当直线l的倾斜角变化时,若为锐角,求t的取值范围.
22.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,且,证明:有且仅有两个零点.(e为自然对数的底数)
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