精练14 二次函数压轴题（解析版）.pdfVIP

精练14--二次函数压轴题

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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B4，0）

两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．

1）求抛物线的函数表达式；

2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点E，当的值最大时，

求点P的坐标和的最大值；

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3）把抛物线y＝x+bx+c向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y

′，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四

边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并任选其中一个N点，

写出求N点的坐标的过程．

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【解答】解：1）将A（﹣2，0），B4，0）代入y＝x+bx+c，

得，

解得，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4．

2）如图1，作PG⊥x轴于点G，交BC与点F，

抛物线y＝x2﹣x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，

∴C0，﹣4），

设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣4，则4k﹣4＝0，

解得k＝1，

∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，

设Px，x2﹣x﹣4），则Fx，x﹣4），

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∴PF＝x﹣4﹣x﹣x﹣4）＝﹣x+2x，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

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∴＝＝（﹣x+2x）＝﹣x﹣2）+，

∴当x＝2时，的值最大，最大值为，此时P2，﹣4），

∴点P的坐标为2，﹣4），的最大值为．

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3）∵y＝x﹣x﹣4＝x﹣1）﹣，

∴该抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线为y′＝x﹣

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2）﹣，

即y′＝x2﹣2x﹣，该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为2，﹣），

如图2，BC的中点为Q2，﹣2），

当点M与抛物线的顶点重合时，则点N与点M2，﹣）关于点Q2，﹣2）对称，

∵BQ＝CQ，MQ＝NQ，

∴四边形BMCN是平行四边形，

此时N2，）；

如图3，四边形BCMN是平行四边形，且点M在直线x＝2的左侧，

过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点R，

∵MN∥BC，QN∥y轴，

∴∠MNR＝∠BQN＝∠BCO，

∵MN＝BC，∠MRN＝∠BOC＝90°，

∴△MRN≌△BOCAAS），

∴RN＝OC＝4，RM＝OB＝4，

∴点M的横坐标为﹣2，

抛物线y′＝x2﹣2x﹣，当x＝﹣2时，y′＝，

∴M（﹣2，），R2，），

∴yN＝+4＝，

∴N2，）；

如图4，四边形BCNM是平行四边形，且点M在直线x＝2的右侧，

过点M作直线x＝2的垂线，垂足为点H，

∵MN∥BC，QN∥y轴，

∴∠MNH＝∠BQH＝∠BCO