2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点10函数的零点问题(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

第10讲函数的零点问题

知识点1函数的零点

1．零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点?函数y＝f(x)有零点．

注：函数的零点不是函数y＝f(x)图象与x轴的交点，而是y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.

【即学即练1】若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()

A．2 B．2和0

C．0 D．－2和0

知识点2函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

【即学即练2】函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)的零点所在的区间是()

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4,5)

【即学即练3】已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x

1

2

3

4

5

f(x)

－4

－2

1

4

7

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4,5)

【即学即练4】已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．

【即学即练5】(2023·西安模拟)函数y＝x3和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2存在公共点P(x0，y0)，则x0的范围为()

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

【即学即练6】函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

【即学即练7】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()

A．0 B．1

C．2 D．3

【即学即练8】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

【即学即练9】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(0,1) D．(－∞，1]

知识点3二分法的定义

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【即学即练10】用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0．001，则结果计算的条件是()

A．|a－b|0．1 B．|a－b|0．001

C．|a－b|0．001 D．|a－b|＝0．001

考点一判断函数零点所在的区间

解题方略：

1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

2．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断．

【例1-1】(2023·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（???????）

A． B． C． D．

变式1：(2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的大致区间为（???????）

A． B． C． D．

变式2：(2023·全国·高三专题练习）方程的实数根所在的区间为(???????)

A． B． C． D．

变式3：(2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点的区间是，则的值为__________．

变式4：(2023·全国·高三专题练习（文））根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间为（???????）

-1

0

1

2

3

0.37

1

2.72

7.39

20.09

2

3

4