2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点04不等式的性质与常见不等式的解法(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

第4讲不等式的性质与常见不等式的解法

知识点1不等关系

1．两个实数比较大小的依据

（1）作差法：①a＞b?a－b＞0；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?a－b＜0.

（2）作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；

同向可加性：

异向可减性：

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；

同向正数可乘性：

异向正数可除性：

(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．

（7）倒数法则：

注：常用结论：

倒数性质：(1)ab，ab0?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；(2)a0b?eq\f(1,a)eq\f(1,b)；(3)ab0，dc0?eq\f(a,c)eq\f(b,d).

分数性质：若ab0，m0，则(1)真分数性质：eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0)；

(2)假分数性质：eq\f(a,b)eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)eq\f(a－m,b－m)(b－m0)．

3.不等式的证明方法

（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．

（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．

（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．

注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；

(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．

知识点2常见不等式的解法

1.不等式的解集与不等式组的解集

（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．

（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为?时，则不等式组的解集为?.

2.一元一次不等式axb(a≠0)的解集

(1)当a0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(b,a)))))．(2)当a0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(b,a)))))．

3.(1)一元二次不等式的解法

①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.

②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.

注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.

②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.

③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.

④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.

(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两相异实数根x1，x2(x1x2)

有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有

实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

eq\a\vs4\al(?)

4.指对数不等式

解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法

(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.

①当时,

;

②当时,

;

(2)对指互化法：

如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.

对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.

5．简单分式不等式

（1）；（2）

（3）；（4）

6.绝对值不等式

绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．

(1)