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学必求其心得,业必贵于专精
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学必求其心得,业必贵于专精
第1讲集合
最新考纲1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2。理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3。理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
2。集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A?B或B?A.
(2)真子集:若A?B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA。
(3)相等:若A?B,且B?A,则A=B。
(4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}
4。集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:A?B,B?C?A?C.
(3)A?B?A∩B=A?A∪B=B。
(4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何集合都有两个子集。()
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C。()
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1。()
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()
解析(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的。
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=。
答案(1)B(2)(-∞,4]
规律方法(1)若B?A,应分B=?和B≠?两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系。解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行求解.
【训练2】(1)(2017·镇海中学质检)若集合A={x|x0},且B?A,则集合B可能是()
A.{1,2} B。{x|x≤1}
C.{-1,0,1} D。R
(2)(2016·郑州调研)已知集合A={x|eq\r(x)=eq\r(x2-2),x∈R},B={1,m},若A?B,则m的值为()
A。2 B。-1
C.-1或2 D。eq\r(2)或2
解析(1)因为A={x|x>0},且B?A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由eq\r(x)=eq\r(x2-2),得x=2,则A={2}。
因为B={1,m}且A?B,
所以m=2.
答案(1)A(2)A
考点三集合的基本运算
【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为()
A.5 B.4 C。3 D。2
(2)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?RQ)=()
A. B。(-2,3]
C.
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到。解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.
2。对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到。
3。对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图。这是数形结合思想的又一体现。
1。集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
4。Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
基础巩固题组
(建议用时:25分钟)
一、
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