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2.1双曲线及其标准方程
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一双曲线的定义
距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|FF|)
平面内到两个定点F,F的__________________________________
1212
的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F,F叫作双曲线的
12
________,________________叫作双曲线的焦距.
焦点两个焦点间的距离
状元随笔要注意定义中的限制条件:“小于|FF|”“绝对
12
值”“非零”.
(1)若将“小于|FF|”改为“等于|FF|”,其余条件不变,此时动点
1212
的轨迹是以F,F为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于
12
|FF|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.
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(2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹是双曲线的一
支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线
段FF的垂直平分线.
12
要点二双曲线的标准方程
焦点在x轴上焦点在y轴上
2222
标准方程x−y=1(a0,b0)y−x=1(a0,b0)
a2b2a2b2
图形
焦点坐标F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)
1212
a,b,c
222
c=________
a+b
的关系
状元随笔(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大
小,是双曲线的定形条件.
(2)焦点F,F的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方
12
2
程的类型.“焦点跟着正项走”,即若x的系数为正,则焦点在x轴
2
上;若y的系数为正,则焦点在y轴上.
222
(3)在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c=a+b,所
以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度
为c的线段是斜边,如图所示.
[基础自测]
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的
轨迹是双曲线.()
×
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小,
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