随机变量及其分布.docx

1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用字母X,Y，?，?，?表示．

随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．

2、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量

3、连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4、离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量

的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，?=0，表示正面向上，?=1，表示反面向上

若?是随机变量，??a??b,a,b是常数，则?也是随机变量

5、离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ 可能取得值为

x，x，?，x，?，

1 2 3

ξ 取每一个值x（i=1，2，?）的概率为P(??x)?p

，则称表

i

ξ x x

1 2

i i

? x ?

i

P P P ? P ?

1 2 i

为随机变量ξ 的概率分布，简称ξ 的分布列。

6、分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0?P(A)?1，并且不

可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴P≥0，i＝1，2，?；

i

⑵P+P+?=1．

1 2

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个

值的概率的和即P(??x)?P(??x)?P(??x )????

k k k?1

7、连续型随机变量概率分布：

由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；总体分布密度函数的两条基本性质：

①f(x)≥0(x∈R)； ②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1

随机变量及其分布 1

8、若随机变量X的分布列是

ξ 0 1

P 1?p p

像这样的分布列称为两点分布列．

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=1）为成功概率．

两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利

试验，所以还称这种分布为伯努利分布．

P???0??q， P???1??p， 0?p?1，p?q?1．

9、一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为

P(X?k)?

CkCn?k

?M N?M,k 0,1,2,?,m,

?

Cn

N

其中m?min{M,n}，且n?N,M?N,n,M,N?N?．称分布列为超几何分

布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布。

X 0 1 ? m

C0Cn

C1Cn?1

CmCn?m

P M N?M

M N?M ?

M N?M

Cn Cn Cn

N N N

10、条件概率：设A和B为两个事件，P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率。P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．

P(B|A)定义为 P(B|A)?P(AB) 由这个定义可知，对任意两个事

P(A)

件A、B，若P(B)?0，则有P(AB)?P(B|A)?P(A).

（1）非负性：0?P(B|A)?1；

（2）规范性：P（?|B）=1；

如果是两个互斥事件,则P(B?C|A)?P(B|A)?P(C|A).

随机变量及其分布 2

11、相互独立事件的定义：设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),

则称事件A与事件B相互独立。

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件

若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互