预习第18讲 双曲线的简单几何性质 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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第18讲双曲线的简单几何性质

1.掌握双曲线的简单几何性质；

2.会利用双曲线的几何性质求解相关的问题.

1几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图象

标准方程

x

y

范围

x≤-a或x≥a,y∈R

y≤-a或y≥a,x∈R

顶点

A

A

轴长

虚轴长2b，实轴长2a

焦点

F

F

焦距

F

a、

c

离心率

e=

渐近线

y=±

y=±

实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

2一些常用结论

①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为2b

②焦点到渐近线的距离是b；

③焦点三角形面积S=b

④与双曲线x2a

⑤双曲线x2a

【题型一】双曲线的简单几何性质

【典题1】已知双曲线C:x25-y2b2=1的焦距为6，则双曲线

A．3 B．2 C．4 D．31

【答案】B

【分析】由题意可得，c=3，由5+b2=9，解得b=2

【详解】由题意可得，c=3，焦点为-3,0,

则5+b2=9，解得b=2

则双曲线的渐近线方程为y=±2

则焦点到渐近线的距离为65

故选：B．

【典题2】已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为2x±y=0，该双曲线的焦点为(???)

A．±23,0 B

C．±25,0 D

【答案】C

【分析】设双曲线方程为x2a2-y

【详解】设双曲线方程为x2

因为双曲线实轴长为4，渐近线方程为2x±y=0，

所以2a=4ba=2，解得a=2

则c=a

所以该双曲线的焦点为±25

故选：C

变式练习

1.已知双曲线C:y29-

A．C的焦点坐标为±4,0 B．C的顶点坐标为0,±3

C．C的离心率为43 D．C的虚轴长为

【答案】A

【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可

【详解】因为a2=9,b

因为焦点在y轴上，

所以C的焦点坐标为(0,±4)，顶点为0,±3，离心率为43，虚轴长为2

故选：A.

2.双曲线:x24-y2

A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率

【答案】D

【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得.

【详解】双曲线Γ1的焦点坐标为±6,0

渐近线方程为y=±22x

双曲线Γ2的焦点坐标为0,±6、上下顶点坐标为

渐近线方程为y=±2x、离心率为

故其离心率相同.

故选：D.

3.下列有关双曲线x29-y216

A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等

【答案】B

【分析】求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论.

【详解】对于双曲线x29-y216=1

离心率为53

对于双曲线y216-x29=1

离心率为54

因此，这两个双曲线有相同的渐近线，

故选：B.

4.如图，F1,F2是双曲线C1:x2-y23=1与椭圆

A．1 B．2 C．5 D．2

【答案】D

【分析】

根据给定条件，求出椭圆的半焦距，结合椭圆、双曲线的定义求出长半轴长即可得解.

【详解】由双曲线C1:x2-

由双曲线的定义，得|F1A|-|

由椭圆定义，得C2的长轴2a=|F1A|+|F2A|=6

所以C2的短轴长2b=2

故选：D

5.已知双曲线W:x22+m-

A．m∈(-2,-1)

B．若W的顶点坐标为0,±2，则

C．W的焦点坐标为±1,0

D．若m=0，则W的渐近线方程为x±

【答案】D

【分析】根据2+m1+m0即可判断A；根据双曲线的顶即可判断出B错误；分m-1、m-2两种情况，依次求出c2，即可判断

【详解】对于A项：因为方程x2

所以2+m1+m0，解得m-1或m-2，

对于B项：因为W的顶点坐标为0,±2，所以-m-1=22，解得m=-3

对于C项：当m-1时，c2

当m-2时，c2=-2+m

对于D项：当m=0时，双曲线W的标准方程为x22-y2=1

故选：D

【题型二】利用双曲线的几何性质求双曲线方程

【典题1】已知双曲线x2a2-y2b2

A．x23-

C．x26-

【答案】A

【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为x23-y

【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为y=3

设双曲线方程为x2

代入点3,2，可得λ=

所以双曲线的方程为x2

故选：A.

【典题2】已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22-y2=1

A．x28-y24=1 B．

【答案】A

【分析】首先利用共渐近线方程的设法设出双曲线C的方程，再代入点，即可求解.

【详解】由题意设双曲线C的标准方程为x22-

得162-4=λ，得

所以双曲线C的标准方程为x2

故选：A

变式练习

1.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F

A．x2-y23=1 B．x

【答案】A

【分析】利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可

【详解】由题意知2