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重难点突破（三）不等式的证明问题

在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题.

方法

方法1作差构造法

【例1】设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1.

方法技巧

1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

2.利用作差构造法证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数g（x）；

（3）利用导数研究g（x）的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.

跟踪训练

证明：1－cosx≤x2

2.求证：ex＋sinx＋cosx≥2x＋2.

方法

方法2构造双函数法

【例2】已知函数f（x）＝ex2－xlnx.求证：当x＞0时，f（x）＜xex＋1e

方法技巧

若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.

跟踪训练

已知函数f（x）＝elnx－ax（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.

方法

方法3适当放缩法

【例3】已知函数f（x）＝xlnxx+1，g（x）＝xex，证明：f（x）＞

方法技巧

适当放缩法证明不等式常见的放缩技巧

（1）利用基本不等式进行放缩，如：a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；a＋b≥2ab（a≥0，b≥0）；

（2）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；

（3）lnx≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.

跟踪训练

设f（x）＝ln（x＋1）＋x+1－1，求证：当x∈（0，2）时，f（x）＜9

2.已知函数f（x）＝aln（x－1）＋2x－1，其中a为正实数.证明：当x＞2时，f（x）＜ex＋（a－1）x－

不等式的证明问题

课后跟踪巩固

1.若则（）

A. B.

C. D.

2.若，则（）

A. B.

C. D.

3.已知函数f（x）＝lnxx＋a（a∈R），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为

（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；

（2）求证：当x＞0时，f（x）≤x－1.

4.已知函数f（x）＝x2－lnx.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：f（x）x＋14x2

5.设函数f（x）＝ax2－（x＋1）lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为0.

（1）求a的值；

（2）求证：当0＜x≤2时，f（x）＞12x

6.已知函数f（x）＝ax－sinx.

（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；

（2）求证：当x＞0时，ex＞2sinx.