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微专题提优讲义7三角函数中有关ω的求解
在三角函数的图象与性质中,ω的求解是近年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是我们复习中的难点.本微专题整理了以下几种ω的求法,以供参考.
一、利用三角函数的对称性求解
【例1】已知函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴为直线x=π3,一个对称中心为点(π12,0),则ω有
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
点评三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,进而可以研究ω
跟踪训练
(多选)已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数,m,n≠0)的一个极大值点为π4,若函数y=f(π3-ωx)的图象关于点(7π12,0)中心对称,则ω
A.1 B.2
C.13 D.-5
二、利用三角函数的单调性求解
【例2】若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减,则ω的取值范围是(
A.[0,23] B.[0,3
C.[23,3] D.[32
点评根据函数f(x)在已知区间上的单调性,结合正、余弦函数的单调区间,确定函数f(x)的单调区间,建立不等式,即可求ω的取值范围.
跟踪训练
已知函数f(x)=sinωx+cosωx,g(x)=cosωx-sinωx,ω>0,在区间(0,π2)上,若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则ω的取值范围是(
A.(0,12] B.(0,1
C.(0,32] D.[12,
三、利用三角函数的零点求解
【例3】已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.
点评利用零点求参数ω的两个思路:①直接求出函数的零点,利用零点与所给区间的关系求解;②利用函数的周期与所给区间的关系求解.
跟踪训练
设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是(
A.53,136
C.136,83
四、利用三角函数的最值求解
【例4】已知函数f(x)=2sinωx在区间[-π3,π4]上的最小值为-2,则实数ω的取值范围是
点评三角函数的极值点、最值点和其图象的对称轴说法是等价的,最值问题可转化为不等式恒成立问题来解决.
跟踪训练
将函数f(x)=sin(2ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,函数g(x)的部分图象如图所示,且g(x)在[0,2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1,最小值为-1),则ω的取值范围是()
A.(712,1312] B.[712
C.[1112,1712) D.(1112
课后巩固练习
1.为了使函数y=sinωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为()
A.98π B.eq\f(197,2)π C.eq\f(199,2)π D.100π
2.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增,则的取值范围为()
A. B. C. D.
3.(多选)已知函数在区间上单调,且满足,下列结论正确的有(????)
A.
B.若,则函数的最小正周期为
C.关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D.若函数在区间上恰有5个零点,则的取值范围为
4.已知,使得关于的不等式函数成立,则实数的取值范围是_________
5.已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)若函数的导函数为,且在上为减函数,求ω的取值范围.
6.设函数,其中.
(1)若的最小正周期为,求的单调增区间;
(2)若函数图象在上存在对称轴,求的取值范围.
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