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微专题提优3一元二次方程根的分布

解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：

（1）判别式Δ的符号；

（2）对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系

（3）区间端点处函数值的符号.

一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但基本可以分为以下三类：

一、已知两根与实数k的大小关系

根的分布情况（以a＞0为例）

两根都小于k

两根都大于k

一个根小于k，一个根大于k

图象的大致形状

满足的不等式（组）

Δ

Δ

f（k）＜0

【例1】（1）若关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是（）

A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C.（－2，1） D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

（2）已知方程2x2－（m＋1）x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是.

二、已知两根所在的区间

根的分布情况（以a＞0为例）

两根都在（m，n）内

有且仅有一根在（m，n）内

一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，且m＜n＜p＜q

图象的大致形状（a＞0）

满足的不等式（组）

Δ

f（m）·f（n）＜0

f（m

【例2】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围；

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求实数m的取值范围.

三、可转化为一元二次方程根的分布的问题

一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解.

【例3】已知关于x的方程2cos2x－asinx－2a＋1＝0在（－π2，0）内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为

课后巩固练习

1.已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（?）

A．B．C． D．

2.若不等式对一切实数x都成立，则的范围是（）

A．B．C．D．或

3.若命题“??1≤a≤3，ax

A．x?1≤x≤4 B．

C．x?1≤x≤0或53

4.（多选）关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（）

A．B．C．D．

5.（多选）关于x的不等式的解集为R的一个必要不充分条件是（）

A．B．C．D．或

6.已知当x0时，不等式：x2?mx+160恒成立，则实数

A．?8,8B．?∞,8 C．?∞,8 D．8,+∞

7.不等式对任意恒成立，则m的取值范围为．

8.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是．

9.已知函数，

(1)若的解集为，求的值；

(2)若，求不等式的解集.

10.已知函数.

（1）若，试讨论不等式的解集；

（2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围.