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由数列的前n项和sn求通项an的问题探究

广东省深圳市福田外国语高级中学〔518038〕杜贵琼

【内容摘要】数列{}的通项与前n项和的关系问题是高中数学的一个重要知识，也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一，学生在对与的关系把握中，容易犯错误，下面就与的关系问题作一探究。

【关键字】通项化归等价转化同类转化

定义：数列{}中，我们把称为数列{}的前n项和，根据定义有

，所以。

等差数列的通项与前n项和的关系

〔1〕我们知道，等差数列的前n项和公式为：〔*〕

于是可知，假设〔其中，即〕，所以,即数列{}是以首项为，公差的等差数列。

特别地，当时，,即数列{}是每项为的等差常数列。

〔2〕又因为等差数列的通项公式:

代入〔*〕可得到，即是关于的特殊二次函数的形式。

特别地，当时，,即数列{}是等差常数列。

【例题1】数列{}中，，求。

【解析】∵符合的形式，那么数列{}是等差数列，

∴。

【例题2】数列{}中，求。

∵，

符合的形式，那么数列{}是等差数列，

∴，，∴。

点评：此题也可以应用公式求出通项，但如果熟悉等差数列的与前n和的关系更容易加强理解等差数列的特点。

等比数列的通项与前n项和的关系

〔1〕当时，等比数列的前n项和公式为：=，于是可知当〔其中〕时，所以，数列{}是以为公比的等比数列。

特别地，当时，，于是当数列{}是每项都为等比常数列。

〔2〕当时，又因为=，于是可知当〔其中

〕时，所以，即数列{}以的等比数列。

特别地，当时，，，于是当{}是每项为等比常数列。

【例题1】〔1〕数列{}中，，求。

(2)数列{}中，，求。

【解析】〔1〕∵符合的形式，所以数列{}是等比数列；

∴，即。

〔2〕∵符合的形式，所以数列{}是公比为1的等比数列，即。

【例题2】〔1〕数列{}中，求。

(2)数列{}中，，，求。

【解析】〔1〕∵符合的形式，即数列{}是等比数列且，

∴，∴

〔2〕∵，所以数列{}是公比为1的等比数列，即。

点评：此题也可以应用公式求出通项，但如果熟悉等比数列的与前n和的关系更容易加强理解等比数列的特点。

三、运用公式把转化为求解

【例题1】数列前n项和，求通项公式。

【解析】由得：

于是

所以，即

上式两边同乘以得：

由，得：

于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

，故

点评：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是此题求解的关键.

四、运用公式把转化为求解

【例题】正数数列{}的前n项和，求{}的通项公式．

【解析】∵，所以=1．

∵

∴+，

∴=，即=1

∴是以1为首项，公差为1的等差数列．

∴，即

∴=－〔n≥2〕，

∴=－．

点评：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是此题求解的关键.