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专题06立体几何中的表面积和体积
一、单选题
1．（2024·江苏·高邮市临泽中学高一期末）一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形态的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．假如木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面上升了（???????）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】B
【解析】
【分析】
依据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽中水面上升的高度
【详解】
解：因为直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，
所以可得木球在水中的体积，
因为木球在水中的体积等于水槽上升的体积，
所以水槽中水面上升的高度为
故选：B
2．（2024·江苏扬州·高一期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（???????）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先计算正四棱锥的高，再计算体积.
【详解】
如图，正四棱锥，，，则，
则该正四棱锥的体积.
故选：A
3．（2024·江苏省镇江中学高一期末）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（???????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由于正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，从而求出体对角线，可得球的直径，进而可求出球的表面积
【详解】
解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得
，得，
所以球的表面积为，
故选：B
4．（2024·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出三棱柱的外接球的半径，再利用球的表面积公式的应用求出结果．
【详解】
直三棱柱中，，，
所以，由正弦定理可得，所以，
即△的外接圆的半径为，所以三棱柱的外接球的半径，
所以．
故选：．
5．（2024·江苏连云港·高一期末）《算术书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，则近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为圆锥的体积为，故而，由可得的近似值.
【详解】
设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以，
所以，
令，得.
故选：B.
6．（2024·江苏省镇江中学高一期末）一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为14，现将该容器盛满水，然后平稳渐渐地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，则圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为（???????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可求出圆柱形容器中水的总体积，再由容器中的水是原来的，可以求出流出水的体积，再由流水之后空出部分恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱，由此解出短圆柱的高，解三角形即可
【详解】
解：由题意可得容器中水的体积为，
由容器中的水是原来的，可得流出水的体积为，
则，
所以，
，
所以圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为，
故选：B
二、多选题
7．（2024·江苏省镇江中学高二期末）一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列推断中正确的是（???????）
A．直线面
B．与面所成的角为定值
C．设面面，则有∥
D．三棱锥体积为定值.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B，C，依托于选项A即可较简洁得到.点到平面的距离不等确定，即可推断选项D.
【详解】
对于A，由中点与中点，得,
得，
由为等腰直角三角形得，由，
面，
得直线面，故A正确；
对于B，由A得，与面所成的角为，为定值，故B正确；
对于C，由A得，，故面，由面，
面面，所以∥，故C正确；
对于D，的面积为定值，
但三棱锥的高会随着点的位置移动而改变，
故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简洁题.
8．（2024·江苏·高一期末）下列说法中正确的有（???????）
A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为
B．用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为
C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分
D．已知四点不共面，则其中随意三点不共线．
【答案】ACD
【解析】
对A
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