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河南省周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（????）

A． B． C． D．

2．已知向量，若，则实数（????）

A． B．2 C． D．1

3．从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（????）

A． B． C． D．

4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（????）

A．若，，则，可能平行、异面或者相交

B．若，，则与可能平行、相交或者

C．若，，则

D．若，，则

5．已知向量，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

6．在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（）

A．3 B．4 C．6 D．8

7．经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（????）

A． B． C． D．3

8．在中，角所对的边竹别是，若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为

10．设是一个随机试验中的三个事件，且，与互斥，则下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．若事件相互独立，则

C．

D．

11．在三棱锥中，底面，，，，以点为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（????）

A．的最小值为1 B．的最小值为

C．当取得最小值时，球与侧面的交线长为 D．当取得最小值时，球与侧面的交线长为

三、填空题

12．已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为.

13．在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为.

14．已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为.

四、解答题

15．为了全面提高学生素质，促进学生德?智?体?美?劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.

(1)求的值；

(2)估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；

(3)若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.

16．已知复数，，为虚数单位，.

(1)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；

(2)若是方程的根，求.

17．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明?小王?小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明?小红两名同学都解答错误的概率是，小王?小红两名同学都正确解出的概率是.设小明?小王?小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.

(1)求三名同学都正确解出这道题的概率；

(2)求小王正确解出这道题的概率.

18．如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.

(1)求直线与平面所成角的大小.

(2)若直线分别与直线，所成的角相等，且.

①求二面角的大小；

②求三棱锥的体积.

19．三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.

(1)证明：；

(2)若，当取最小值时，求整边三角形的面积.

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参考答案：

1．B

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念得答案.

【详解】因为，所以，故.

故选：B.

2．A

【分析】根据向量垂直的坐标表示分析求解.

【详解】因为，则，解得.

故选：A.

3．B

【分析】由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型的概率公式求解.

【详解】从这4个数中一次性