2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

第5讲基本不等式

知识点1基本不等式

1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.

证明：

推论：（）.

2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

推论：；.

a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2

提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a+b2

3、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

(2)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．

4、几个重要的不等式

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?1?a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,?2?\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab0；,?3?ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,?4?\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.)

.

证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立）

拓展：（6）a0,b0,c0则a+b+

5、利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(简记：和定积最大)

6、基本不等式公式推导图

1．（2023?乙卷）下列函数中最小值为4的是

A． B． C． D．

4．（2023?天津）已知，，则的最小值为．

5．（2023?上海）已知函数的最小值为5，则．

2．（2023?上海）下列不等式恒成立的是

A． B． C． D．

3．【多选】（2023?海南）已知，，且，则

A． B．

C． D．

6．（2023?天津）已知，，且，则的最小值为．

7．（2023?江苏）已知，则的最小值是．

8．（2023?上海）若，，且，则的最大值为．

9．（2023?天津）设，，，则的最小值为．

考点一利用基本不等式比较大小

解题方略：

在利用基本不等式比较大小时，也可能要用到函数的单调性.

【例1-1】【多选】(2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，则下列选项错误的是（???????）

A． B．

C． D．

【题组练透】

1、【多选】(2023·江苏无锡·高三期末）已知，则下列结论正确的是（???????）

A． B．

C． D．

2、【多选】(2023·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）若，且，则下列不等式恒成立的是（???）

A． B．

C． D．

3、【多选】(2023·广东汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且ab，0c1，则下列不等式一定成立的是（???????）

A． B．

C． D．

考点二利用基本不等式求最值

解题方略：

直接法

①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.

积，和和平方和三者之间的不等式关系：

②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值时要求一正、二定、三相等.

③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．

④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．

【例2-1】(2023·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（???????）

A．2 B．1 C． D．

【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.

【例2-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（???????）

A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值

【例2-4】(2023·四川·石室中学模拟预测（文））函数的最大值是（???????）

A．7 B． C．9 D．

【题组练透】

1、(2023·