矩阵分析 课件 第4章 矩阵分解.ppt

定理4.11设A是任意n阶复矩阵，则矩阵A有QR分解。证（Householder变换方法）将矩阵A按列分块为由定理4.9可知，存在n阶Householder矩阵，使得因此其中是n-1阶复矩阵。再将按列分块为，则存在n-1阶Householder矩阵，使得，（），记则是Householder矩阵，并且其中是n-2阶矩阵，依此类推，到第n-1步有其中都是n阶Householder矩阵。由于的自逆性，所以有其中是酉矩阵，R是上三角矩阵。（Givens变换方法）将矩阵A按列分块为，由定理4.8可知，存在n阶Givens矩阵，使得，因此（）对于其第二列，存在n阶Givens矩阵，使得所以（）依此类推，最后得到。由此，其中是酉矩阵，R是上三角矩阵。定理4.12设A是任意n阶可逆复矩阵，则矩阵A可以唯一的分解为A=QR。其中Q是n阶酉矩阵，R是具有正对角元素的上三角可逆矩阵。证将矩阵A按列分块为，因为矩阵A可逆，所以线性无关，由Schmidt正交化方法将其正交化：其中再将单位化，得则有所以其中是n阶酉矩阵，R是具有正对角元素的上三角可逆矩阵。再证唯一性。设矩阵A有两个QR分解：，则，其中是具有正对角元素的上三角可逆矩阵，由于，则D仍为n阶酉矩阵，因此D是单位矩阵。所以例4.5试求矩阵的QR分解。解分别用Householder变换，Givens变换和Schmidt正交化方法求矩阵A的QR分解。（Householder变换方法）因为，取，作单位向量则又因为，取，作单位向量则，记，则所以矩阵A的QR分解为：（Givens变换方法）取，则再取，，则所以矩阵A的QR分解为：（利用Schmidt正交化方法）因为，，，可见线性无关，应用Schmidt正交化得到：再单位化得到：因此，所以矩阵A的QR分解为：对于线性方程组来说，如果，则有A=QR，其中Q是n阶酉矩阵，是上三角矩阵。则原方程组等价于，即。由于R是上三角矩阵，则可以通