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2.3正交变换与对称变换
1、正交变换
定义2.6如果欧氏空间V的线性变换T保持内积不变,即对
,都有
,则称T为正交变换。
例2.8平面旋转变换(平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转
角)
就是欧氏空间
的一个正交变换。
这是因为,对
中任意向量
和
,有
所以T是正交变换。
任意
例2.9设A是n阶正交矩阵,
的线性变换
是正交变换。
这是因为,对任意
,有
定理2.5设T是n维欧氏空间V的线性变换,则下列命题等价:
(1)T是正交变换;
(2)T保持元素的长度不变,即对任意
,有
(3)T把V的标准正交基仍变为标准正交基;
(4)T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵。
证(1)
(2)
,有
(2)
(1)
,有
将上式两边展开,得
由于
代入上式得
即T是正交变换。
T是正交变换,对任意
T保持内积不变,则对任意
(1)
(3)
T是正交变换,设
标准正交基,则有
于是
是标准正交基。
(3)
(1)
如果
和
都是V的标准正交基,任取
,有
于是
即T是正交变换。
(3)
(4)
及
(4)
(3)
由定理2.4即得。
是V的
例2.10设T是欧氏空间
的线性变换,对任意
恒等变换
是一个正交变换。
事实上,
即
由定理2.5知T是一个正交变换。
2、对称变换
定义2.7设T是欧氏空间V的线性变换,如果对任意
都有
,则称T为对称变换。
定理2.6n维欧氏空间V的线性变换T是对称变换充分必要
证设
是V的标准正交基,且
其中
,则有
于是
条件是它在V的任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。
如果T是对称变换,则有
于是对任意
,有
从而A是实对称矩阵。反之,若A是实对称矩阵,则有
且
即T为对称变换。
推论设T是n维欧氏空间V的对称变换,则存在V的
证取V的标准正交基
,且设
其中A是实对称矩阵。由于存在正交矩阵Q,使得
其中
是对角矩阵,令
则由定理2.4知,
是V的标准正交基,且T在该基下的矩阵为
标准正交基,使T在该基下的矩阵为对角矩阵。
例2.10设
是欧氏空间V中一个单位元素,
定义
证明:(1)T是线性变换;
(2)T是正交变换;
(3)T是对称变换。
证(1)对任意
,有
故T是线性变换。
对任意
(2)对任意
,有
故T是正交变换。
(3)对任意
,有
因此
故T是对称变换。
本节小结
01
02
正交变换
对称变换
P44:8;9
预习:2.4节
本节作业
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