2024年沪科版九年级上册数学第二十二章练素养 2巧用“基本图形”探索相似条件.pptxVIP

沪科版九年级上第22章相似形练素养2.巧用“基本图形”探索相似条件

1答案呈现温馨提示：点击进入讲评2345

【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD.∴∠OAE＝∠OCF.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.1.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E,F,FE的延长线交CB的延长线于点M.(1)求证：OE＝OF；

返回(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长.

2.如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，AE，AF分别交BC，CD于点E，F，交BD于点H，G.求证：(1)AD2＝BG·DH；

【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD.∴∠AHD＝45°＋∠BAH.∵∠EAF＝45°，∴∠BAG＝45°＋∠BAH.∴∠BAG＝∠AHD.又∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴△ABG∽△HDA.∴BG·DH＝AB·AD＝AD2，即AD2＝BG·DH.

(2)CE＝DG；【证明】如图，连接AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AD＝CD，∠ADC＝90°.∴AC＝AD.∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠CAD.∴∠EAF－∠CAF＝∠CAD－∠CAF，即∠EAC＝∠GAD.∴△EAC∽△GAD.∴CE＝DG.

返回(3)EF＝HG.

3.如图，在△ABC和△ACD中，∠BDC＋∠ACB＝180°.求证：△ABC∽△ACD.返回【证明】∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∠BDC＋∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACB.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD.

【证明】∵∠BAC＝90°，∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠CAN.∵AB＝AC，AM＝AN，∴△ABM≌△ACN.4.[2024·深圳外国语学校月考]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AM，AN＝AM，且∠MAN＝90°，连接MN交AC于点P，连接CN.(1)求证：△ABM≌△ACN；

【证明】∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠ANM＝45°，MN＝AN.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°.∴∠B＝∠ANM.∵∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ANP.∴AM·AN＝AB·AP，即AN2＝AB·AP.∴MN2＝2AP·AB.(2)求证：MN2＝2AP·AB；

返回(3)若AB＝3，BM＝2CM，求AP的长.

【证明】∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝∠BPC＋∠APD＝90°.∴∠ADP＝∠BPC.∴△ADP∽△BPC.∴，即AD·BC＝AP·BP.5.(1)问题：如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.求证：AD·BC＝AP·BP.

(2)探究：如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.【解】上述结论依然成立.理由如下：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP，∠DPC＝∠A＝θ，∴∠BPC＝∠ADP.又∵∠A＝∠B＝θ，∴△ADP∽△BPC.∴，即AD·BC＝AP·BP.∴上述结论依然成立.

(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5.点P以每秒1个单位的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A.设点P的运动时间为t秒，当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值.

返回【解】过点D作DE⊥AB于点E.∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3.∴DE＝＝4.由题易知DC＝DE，∴DC＝4.∴BC＝5－4＝1.∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.又∵∠DPC＝∠A，∴∠DPC＝∠B.∵AP＝t，∴BP＝6－t.由(1)(2)的经验得AD·BC＝AP·BP，∴5×1＝t(6－t)，解得t＝1或t＝5.