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沪科版九年级上第6招成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法
【解题秘方】“平行线或相似三角形”是线段成比例的必备条件,因此在证明成比例线段或求线段的比时,通常作辅助线,构造平行线截线段成比例或相似三角形的模型,而平行线分线段成比例的基本事实可将一条直线上的两条线段的比转换为另一条直线上两条线段的比.本题中已知BD与CD的比,AE与DE的比,过其中一个分点作平行线,可实现比的转换.
1.如图,在△ABC中,D为AC上一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于点F.求证:EF·BC=AC·DF.方法1作平行线
【点方法】通过作平行线证三角形相似,然后由相似三角形的对应边成比例证等积式.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过点Q且MN⊥CP,分别交AC,BC于点M,N.求证:PA:PB=CM:CN.方法2作垂线
【点拨】本题通过作垂线得到矩形CEPF,再由矩形的性质和相似三角形的性质即可得证.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于点F,FG⊥AB于点G.求证:FG2=CF·BF.方法3作延长线
【点方法】通过作延长线构造相似三角形,再由相似三角形的性质和等量代换得到几个比例式或等积式,从而得到结论.
4.如图,在△ABC中,AB⊥AC,AE⊥BC于点E,点D在AC边上.若BD=DC=EC=1,求AC的长.方法4作中线
【点思路】通过作中线构造相似三角形,进而得到相关线段的数量关系,最终求得AC的长.
5.如图,直线DF分别交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA的延长线交于F.若==2,求BE:AE的值.方法5作相似三角形
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