2024年沪科版九年级上册数学课时拔尖培优训练28 正弦与余弦.pptxVIP

沪科版九年级上课时拔尖28正弦与余弦

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1.[2022·贵港]如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是()C

返回【点拨】过点C作AB的垂线交AB于点D，如图所示.∵每个小正方形的边长为1，设AD＝x，则BD＝5－x，在Rt△ACD中，DC2＝AC2－AD2，在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2，∴10－(5－x)2＝5－x2，解得x＝2，即AD＝2.

2.如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AD＝2，E，M，N分别为对角线AC，边AB，BC上的点，连接EM，EN，则EM＋EN的最小值为________.

【点拨】作点M关于AC的对称点M′，连接M′E，M′N.过点A作AF⊥BC于点F，如图所示.则ME＝M′E.∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝2，AD∥BC，∴点M′一定在AD上.∵ME＝M′E，∴EM＋EN＝M′E＋EN，

返回【点拨】∴当N，E，M′三点在同一直线上时，M′E＋EN最小，即EM＋EN最小，且最小值为M′N的长.∵垂线段最短，∴当M′N⊥BC时，M′N最小.过点E作M″N′⊥BC，易得M″N′＝AF.

3.如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在边BC上，且BE＝4，动点P从点E出发，沿折线EB－BA－AD运动.作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动.(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为________；

【点拨】如图所示.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAQ＝∠ABE＝90°.∵∠PEQ＝90°，即∠BEQ＝90°，∴四边形ABEQ是矩形.∴QE＝AB＝6.在Rt△QBE中，∵BE＝4，

(2)当点Q和点D重合时，求sin∠PQE；【解】当点Q和点D重合时，如图.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝10，∴∠1＋∠2＝90°，EC＝BC－BE＝6.∵∠PEQ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△PBE∽△ECD，

(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由.【解】如图，过P作PF⊥BC于点F，则∠PFE＝90°.易得四边形ABFP是矩形，∴PF＝AB＝6.∵∠PEQ＝∠PFE＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，

返回∴∠2＝∠3.∵BE＝4，BC＝10，∴CE＝6，∴PF＝CE.又∵∠PFE＝∠C＝90°，∴△PFE≌△ECQ，∴PE＝EQ.又∵∠PEQ＝90°，∴△PQE是等腰直角三角形.