高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)1.2空间向量基本定理(原卷版+解析).docxVIP

1.2空间向量基本定理

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

【题型归纳目录】

题型一：基底的判断

题型二：基底的运用

题型三：正交分解

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

【典型例题】

题型一：基底的判断

例1．(2023·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

例2．(2023·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

例3．(2023·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（???????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

例4．（多选题）(2023·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（?????）

A．，， B．，， C．，， D．，，

【方法技巧与总结】

空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底.

题型二：基底的运用

例5．(2023·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（???????）

A． B．=

C．= D．=

例6．(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（???????）

A． B．

C． D．

例7．(2023·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（??????????）

A． B． C． D．

例8．(2023·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（???????）

A． B．

C． D．

【方法技巧与总结】

1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.

2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.

3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.

题型三：正交分解

例9．（2023·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量，是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.

例10．（2023·江苏镇江·高二期中）若是一个单位正交基底，且向量，，______．

例11．（2023·广东·广州市培英中学高二阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为__________．

例12．(2023·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（?????）

A．45° B．90° C．180° D．不确定

【方法技巧与总结】

正交基底的三个向量共起点

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

例13．（2023·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：

(1)的值.

(2)线段AC1的长

例14．（2023·全国·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

例15．（2023·全国·高二专题练习）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值.

例16．(2023·福建宁德·高