生产与销售的协调数学建模考试小论文(大学开放性作业).doc

从生产与存贮的协调谈起

——用变分法建立动态优化模型

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TOC\o1-3\h\z\u目录 2

摘要 3

一、引言 3

二、模型 3

（一）问题的化简和假设 3

（二）模型的建立 3

三、分析 4

（一）泛函极值问题 4

（二）最优解及生产率与贮存量之间的关系 4

四、结论 5

（一）变分法的基本概念 5

（二）泛函的变分 5

（三）泛函的极值 5

五、进一步的探讨 6

（一）模型推广——生产计划模型 6

（二）假设 6

（三）建模 7

五、参考文献 7

摘要

本文将从分析生产和销售的关系出发，研究如何能使生产率和存贮量都尽量稳定在预先设定的水平上。

这个模型是用变分法建立的动态优化模型。本文先从一个实例开始讨论，以在一定时间T内生产率和存贮量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出了泛函极值问题。在设销售量为常数的条件下，求出了最优解，并在T很大的情况下给出了生产率和存贮量之间的关系。本文最后推广出了生产计划制定的一般模型。

关键词：动态优化模型、变分法、生产量、存贮量、生产计划制定

一、引言

如今，国家工业化和商业化的步伐越来越快，在市场经济的浪潮下，如何以最小的成本获得最大的经济的利润无疑是人们现在最关注的问题。公司的负责人都希望生产出的产品能够达到预期最好的销售业绩，不要在货仓里过多的积压，但也不希望产品会脱销，这就要求人们考虑如何协调好生产和销售这两个商品流通的环节。制定一个科学合理的生产计划是解决这个问题的最好办法。

二、模型

（一）问题的化简和假设

本文先讨论一个简单的实例。

一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和存贮量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制定一个根据存贮量控制生产率的策略。

（二）模型的建立

可以用变分法建立这个实例的动态优化模型。

这个数学模型的主要符号说明如下：

x（t）——t时刻的存贮量

u（t）——单位时间产量（即生产率）

v（t）——单位时间销量

u0——预先给定的生产率

x0——预先给定的存贮量

J(u(t))——在时间T内u（t）和x（t）与u0和x0误差的（加权α）平方和最小的泛函极值

三、分析

（一）泛函极值问题

记时刻t的存贮量x（t），单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u（t）和v（t），则x（t）=u（t）-v（t）（1）式

设预先给定的生产率和存贮量分别为u0和x0，则在时间T内u（t）和x（t）与u0和x0误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为

J（u（t））=（2）式

若设t=0和T=0时存贮量为0，则x（0）=x（T）=0(3)式

将（1）式代入（2）式得

J（u（t））=(4)式

(3)式和（4）式构成一个固定端点的泛函数极值问题。

（二）最优解及生产率与贮存量之间的关系

当销售量v（t）=v0（常数）时，（4）式的欧拉方程为

x-（x-）=0（5）式

（5）式在条件（3）下的解为

x（t）=-（6）式

代入（1）式得

u（t）=-（7）式

由（6）式和（7）式可得

u（t）=+（-x（t））-（8）式

在T很大的情况下（8）式最后一项可忽略，于是

u=+（-x）

即生产率u可以由存贮量x直接确定

四、结论

对于动态优化模型，其优化目标仍然是一个数值，而最优策略是函数。对于连续过程可归结为求泛函的极值，常用的方法有变分法。

（一）变分法的基本概念

泛函：设S为一函数集合，若对S中的每一函数都有一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S上的一个泛函，记作J[y(x)]。S称为泛函J[y(x)]的定义域。

最简泛函：设

定义一个泛函J:S?R，对任意y?S，设

（二）泛函的变分

函数的变分:函数在的增量

其中L是y的线性项，而是y的高阶项

泛函J在的变分：

最简泛函的变分为：

（三）泛函的极值

泛函的极值：泛函取得极小值(极大值)是指：

对于任意一个与接近的都有

变分与极值的关系：