预习第08讲 用空间向量研究空间所成角 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

PAGE

PAGE10

第08讲用空间向量研究空间所成角

1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法；

2.掌握向量法求解线面角的方法；

3.掌握向量法求解面面角的方法.

1求异面直线a,b所成的角

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为θ，

则cosθ=|cos

2求直线l和平面α所成的角

设直线l方向向量为a，平面β法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为α

则θ为α的余角或α的补角的余角，即有sinθ=|cosα|=a

3空间向量求平面α与平面β的夹角

求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,

再设m,n的夹角为φ，平面α与平面β的平面角为θ，则θ为φ或π-φ

则cosθ=|cosφ|=|m

【题型一】向量法求异面直线所成角

相关知识点讲解

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为θ，

则cosθ=|cos

解释

①向量AC,BD所成角AC,BD的范围是

②AC,BD

故cosθ=|cosAC,BD|

【典题1】已知菱形ABCD，∠DAB=π3，将△DAC沿对角线AC折起，使以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(????)

A．35 B．32 C．34

【答案】C

【分析】当三棱锥D-ABC的体积最大时，平面ACD⊥平面ABC，以E为原点，EB,EC,ED分别为x,y,z

【详解】记AC的中点分别为E，因为AD=CD，所以DE⊥AC，

同理，BE⊥AC，记AB=2a，

因为∠DAB=π3，所以

所以BE=DE=a，AE=CE=3

易知，当平面ACD⊥平面ABC时，三棱锥D-ABC的体积最大，此时∠BED=π

以E为原点，EB,EC,

则A

所以AB=

所以cosAB

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为34

故选：C

变式练习

1.已知点O0,0,0，A1,0,1，B-1,1,2，C-1,0,-1，则异面直线OC与AB

A．36 B．33 C．24

【答案】A

【分析】根据向量公式，转化为求cosOC,

【详解】由已知得OC=

设异面直线OC与AB所成的角为θ，则cosθ=

故选：A

2.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，M是PB的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为(????)

A．306 B．33 C．63

【答案】D

【分析】利用等角定理找到异面直线AM与BD所成角(或其补角)，利用余弦定理即可的解.

【详解】

如图，取OB,OC,OP

不妨设PA=AB=2a，则A(0,-2

则M(2a2,0,2

设?AM,BD

因异面直线AM与BD所成角是锐角，故它们所成角的余弦值为66

故选：D.

3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C

A．1 B．12 C．22 D

【答案】A

【分析】建系标点，设D(2,0,t),0≤t≤2，可得A1C

【详解】以A为原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、

则A1

设D(2,0,t),0≤t≤2，则A1

所以cosA1C,D

故选：A．

【题型二】向量法求线面角

相关知识点讲解

设直线l方向向量为a，平面β法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为α

则θ为α的余角或α的补角的余角，即有sinθ=|cosα|=a

解释如下图，当θ=π2-α时，sinθ=cosα；当θ=α-

在求直线l和平面β所成的角实际过程中，较难判断平面β的法向量的方向，但不管如何均有sinθ=|cosα|.

【例1】在正方体ABCD-ABCD中，直线BD与平面ABCD所成角为θ，向量DD与向量BD所成角为α，判断cosα与sinθ的关系.

解析因为DD⊥平面ABCD，所以直线BD与平面ABCD所成角θ=∠DBD

而平面ABCD的法向量DD与向量BD所成角α=∠EDD，由图易得θ=α-

所以sinθ=-cosα，

若把平面ABCD的法向量DD改为DD，则θ=π2-α

【典题1】已知直线l的一个方向向量为u=1,0,1，平面α的一个法向量为n=0,-1,1，则l与α

A．12 B．32 C．22

【答案】A

【分析】设出夹角θ，由，求出答案.

【详解】设l与α所成角的大小为θ，

则sinθ=

故选：A

【典题2】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD,AB=AP=2,E,F分别是线段PB,PD的中点，M