复习第03讲 解三角形及其应用 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

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第03讲解三角形及其应用

1.掌握正弦定理及其变式，并会利用其解三角形；

2.掌握余弦定理及其变式，并会利用其解三角形；

3.掌握解三角形的常见题型及其解题方法.

1正弦定理

①正弦定理

asinA=bsinB=

②变形

(1)a+b+c

(2)化边为角

a=2Rsin

a:b:c=sinA:sinB:sinC,

a

(3)化角为边

sinA=a2R,sinB=

2面积公式

S

3余弦定理

①余弦定理

a

②变形

cosA=

③三角形类型的判断

∠A=π

∠Aπ

∠Aπ

【题型一】正弦定理、余弦定理解单个三角形

【典题1】在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA=2b-ccos

(1)求角A的大小；

(2)若a=3，bc=4，求△ABC的周长.

【答案】(1)π

(2)3+

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式可得cosA的值，再由角A的范围，可得角A

(2)由余弦定理可得b+c的值，进而求出三角形的周长．

【详解】(1)因为acosA=

整理得sinA

即sin(A+C)=2

在三角形中sin(A+C)=

所以sinB=2sinBcosA

所以cosA=12，又A∈

(2)因为a=3，bc=4，A=π

由余弦定理可得a2

所以b+c2

所以b+c=21(负值已舍去)

所以△ABC的周长C△ABC

变式练习

1.在△ABC中，a,b,c是角A,B,C分别所对的边，b=19

(1)求a的值；

(2)求cos(B-A)的值

【答案】(1)5

(2)7

【分析】(1)根据题意，由余弦定理得出a2

(2)由余弦定理，求得cosA=-1219

【详解】(1)解：在△ABC中，因为b=19

由余弦定理得b2=a

整理得a2-2a-15=0，解得a=5或a=-3(舍去)，所以a的值为

(2)解：在△ABC中，由余弦定理得cosA=

因为A∈(0,π)，可得

又因为B=π3

=1

2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2bcos

(1)求角B：

(2)若AC边上的高h=34b

【答案】(1)B=

(2)-

【分析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B的大小;

(2)由等面积法可得b2=2ac，再由正弦定理可得sinAsinC的值，再由

【详解】(1)因为2bcos

由正弦定理可得2sin

即sin

即sinB

所以3sin

在三角形中，sinA0

所以3sin

即sinB-π6=

可得B-π6=

(2)因为AC边上的高h=3

所以S△ABC

又S△ABC

由①②可得b2

由正弦定理可得sin2

结合(1)中B=π3可得

因为cosB=-

所以cosA

【题型二】多个三角形问题

【典题1】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanA=3，

(1)求c；

(2)若点D在边BC上，且BD=13a，AD=

【答案】(1)2

(2)2

【分析】(1)根据条件tanA=3，得到A=π

(2)根据条件，在△ABC中，利用余弦定理得到a2=b2+4-2b，cosB=

【详解】(1)因为tanA=3，又0Aπ

则bsin

因为A+C=π-B，所以

由正弦定理，得bc=2b，所以c=2．

(2)由(1)知c=2，A=π

在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+

在△ABD中，由余弦定理得cosB=c

由②③得a2-1212a

把①代入得3b2-2

解得b=4，于是△ABC的面积S=1

变式练习

1.如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD.

(1)若cos∠ADC=-13，AC=233，

(2)若△ABC是锐角三角形，B=π4，求证：

【答案】(1)6

(2)证明见解析

【分析】(1)先在△ACD中由余弦定理解得CD，再在△ABD中用余弦定理即可求解；

(2)根据正弦定理得到BCAB和tanC的关系，利用tan

【详解】(1)在△ACD中，由余弦定理得AC

即132=36+CD

而CD0，解得CD=8，则BD=1

在△ABD中，cos∠ADB=

由余弦定理得AB=42

(2)在锐角△ABC中B=π4，∠BAC=3

则π4

由正弦定理得BCAB

显然tanC1，即1

因此22tanC

所以BC2

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(cosB+cos

(1)求角A的大小;

(2)若a=32,b+c=6，求△ABC

(3)若c=2,a=5,D为BC

【答案】(1)A=π4；(2)92

【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解；

(2)根据余弦定理得bc=9(2-2