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第9讲常用逻辑用语章末复习与测试
【苏教版2019必修一】
目录
TOC\o1-3\h\z\u题型归纳 1
题型01充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 2
题型02充要条件的证明或探求 4
题型03全称量词命题与存在量词命题 6
题型04与全称(存在)量词命题有关的参数问题 8
单元测试 10
一、充要条件的证明或探求
1.将原命题进行等价变形或转换,直至获得其成立的充要条件,探求的过程同时也是证明的过程.
2.掌握充要条件的证明,提升逻辑推理和数学运算素养
二、全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定.
2.通过含有量词的命题的否定培养逻辑推理素养
三、与全称(存在)量词命题有关的参数问题
1.以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对命题进行化简,然后依据命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.
2.利用命题的真假求参数范围等,培养逻辑推理和转化与化归的思想方法
题型01充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用
【解题策略】
充要条件的常用判断方法
(1)定义法:直接判断“若p则q”以及“若q则p”的真假.
(2)利用集合间的包含关系判断:设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B,若A?B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件
【典例分析】
【例1】(2020高三·全国·专题练习)若关于x的不等式成立的充分条件是,则实数a的取值范围是(???)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】求出不等式的解集,利用充分条件的定义,结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意,,解不等式,得,
由不等式成立的充分条件是,得,
于是,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选:D
【变式演练】
【变式1】(23-24高一上·江西九江·期末)设,则“是合数”是“”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由合数、充分不必要条件的概念即可得解.
【详解】由是合数知,能得出,但由不一定能得出是合数,故“是合数”是“”的充分不必要条件.
故选:A
【变式2】(23-24高一上·海南海口·阶段练习)若“”是“”的必要不充分条件,则的最大值为;
【答案】
【分析】根据必要不充分条件的定义求得的取值范围后可得.
【详解】或,
由题意得,
所以的最大值是.
故答案为:
【变式3】(23-24高一上·湖北恩施·期末)已知集合,,.
(1)求,;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用并集概念求解,先求出,然后再求解即可;
(2)根据题意知集合是集合的真子集,分和讨论求解即可.
【详解】(1)因为集合,,所以;
又或,则.
(2)因为是的必要不充分条件,所以集合是集合的真子集,
当时,,解得,满足题意;
当时,由题意或,所以;
综上所述:的取值范围为
题型02充要条件的证明或探求
【解题策略】
充要条件证明的两个思路
(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p?q是证明充分性,推证q?p是证明必要性.
(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件
【典例分析】
【例2】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明先证必要性:
∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,
则a×12+b×1+c=0,
即a+b+c=0.
再证充分性:
∵a+b+c=0,
∴c=-a-b,
代入方程ax2+bx+c=0中,
可得ax2+bx-a-b=0,
即(x-1)(ax+a+b)=0,故
方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
因此,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0得证.
【变式演练】
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2-2x+m2=0.
(1)求出该方程有实数根的充要条件;
(2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件;
(3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件.
解(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0,即4-4m2≥0,m2≤1,解得-1≤m≤1,故方程有实数根的充要条件是-1≤m≤1.
(2)方程有实数根的一个充分不必要条件是m=0.(答案不唯一,写出{m|-1≤m≤1}的任一真子集即可)
(3)方程有实数根的一个必要不充分条件是-2m≤2.(
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