微专题提优讲义10 空间几何体的截面问题.docx

PAGE

PAGE1/NUMPAGES7

微专题提优讲义10空间几何体的截面问题

在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.

1、确定截面的主要依据有

（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．

（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．

2、作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点

一、直接法

【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面.

点评若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.

二、平行线法

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三点的截面，若AB＝2，试求所画截面的面积.

点评若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.

三、延长线法

【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长.

点评若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面.

跟踪训练

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是（

A.三角形 B.四边形

C.五边形 D.六边形

2.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为.

课后巩固练习

1．在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

2．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（????）

A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形

3．（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（????）

A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形

4．（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（????）

A．截面的形状可能是正三角形

B．截面的形状可能是直角梯形

C．此截面可以将正方体体积分成1：3

D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值

5.四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）.

6.如图，已知在正三棱柱中，=2，

且点分别为棱，的中点．过点作三棱柱截面，求截面图形的周长；