2024年西班牙数学奥林匹克试题及解析 .pdf

2024年西班牙数学奥林匹克

第一天

1.2024个不同的素数但22,-•，但2024满足条件：

但1+但2+•..+P1012—P1013+P1014+•••+P2024-

设人=P1P2-P1012，B—P1013P1014•.•刀2024•

求证:\A-B\4.

2.给定正整数n,实数Xi,rr2,•••,rrn1满足x-^x2•••xn=n+1.求证:

(11)+1)项

并说明等号何时成立.

3.设MBC为不等边三角形，P为三角形内部一点，满足Z-PBA=APCA.直线PB和ABAC

的内角平分线交于点Q,直线尸。和^BAC的外角平分线交于点点S满足CS||AQ.BS||AR.

求证：Q,K,S三点共线.

第二天

4.实数满足

771171171C

abed——1,。+———-\~d~\—-——0.

abed

求述：沥,qc,q』中至少一个等于—1.

5.给定平面上的两点P1=0131),〃2=(2,。2),用叫土队)表示边与坐标轴平行、且以P1和

P2为对角顶点的形，即

{(,g)£衫|min(o?i,x2}xmax(o?i,叼},min{gi,y2}ymax{gi,%}}.

若对所有的点集5cR2,且|S|=2024,都存在两点peeS,使得|5n^(P1,p2)|之们求L的

最大可能值.

6.设Q,b,n为正整数，满足％整除an-a+1,记a=?.求证：］2a_|,...—l)a_|除以

n的余数是1,2,...,n—1的一个排列.°

2024年西班牙数学奥林匹克试题解析

1考虑2024个两两不同的质数P\,外.2024使得

P\+Pl+・••+Pl012=Pl013+P1014+•・•+P2024

设刀=PlP2・P1012，g=加|014…P2024，求证:|力一3|Z4・

证明:首先注意到2仁{^}1/2024，若不然易证明等式两侧的奇偶性不同,矛盾!因此本题中的

Pi，P2，・P2024都是奇数，因此Pi=±l(mod4),z=1,2...2024.

设Z中有x个质数是mod4余1的，则有(1012—x)个数是余一1的;同理设6中有y个质

数是modp余1的，则有(1012-9个数是余一1的，于是我们有

X—(1012-%)=y-(1012—y)(mod4)

这意味着x三贝mod2)，那么A三(一1)皿21三(_1)|。|2-，三5(mod4).

注意到A=0(mod/?),而B三0(mod)不成立，因此Xu3,进而|4一B|24，得证.

2设H是正整数，令X,,乂2••冬是大于1的实数，且它们的和为〃+1.求证:

并给出等号成立的条件.

证明:注意到

1(#+1)‘#J(叫_i)+x(%1)(人+1)2

1H=

k\xk-\)k2xkk2xk(xk-\)

=kr：-k—k+叫_(改_l)(k+1)2

k2xk(xk-l)

k2X^-k2Xk+Xk一*Jk+l)2+(+l)2