直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案.doc

直线与双曲线的位置关系及中点弦问题

1.直线与双曲线的位置关系的判断

设直线，双曲线联立解得

假设即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

假设即，

直线与双曲线相交，有两个交点；

直线与双曲线相切，有一个交点；

直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，

且由，消去y→ax2+bx+c=0〔a≠0〕，Δ=b2－4ac。

设，那么弦长公式为：那么

假设联立消去得的一元二次方程：

设，那么

焦点弦长：〔点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率〕。

【例1】过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

解析：假设直线的斜率不存在时，那么，此时仅有一个交点，满足条件；

假设直线的斜率存在时，设直线的方程为那么，

，∴，

，

当时，方程无解，不满足条件；

当时，方程有一解，满足条件；

当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；

所以满足条件的直线有两条和。

【例2】直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

解析：把代入整理得：

当时，。

由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。

假设A、B在双曲线的同一支，须0，所以或。

故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。

【例3】求直线被双曲线截得的弦长；

解析：由得得〔*〕

设方程〔*〕的解为，那么有得，

3.中点弦问题：

【例】求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。

解：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，那么

得：，

∴，即，即〔图象的一局部〕

4、最值问题

【例1】在双曲线上求一点，使到直线的距离最短。

解：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：

联立化简得〔*〕

，故切线方程为：代入双曲线方程解得〔〕

【例2】设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得取得最小值时，求P点的坐标.

易解：P点的坐标为

典例分析

例1.判断以下直线与双曲线的位置关系

〔1〕〔2〕

例2．〔1〕过定点P(0,-1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有〔〕条。

〔2〕过定点P(1,1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有〔〕条。

〔3〕过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线共有

A.1条B.2条C.3条D.4条

例3．经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A，B两点，求的周长。〔为双曲线的左焦点〕

例4.〔1〕以P〔1，8〕为中点作双曲线为的一条弦AB，求直线AB的方程。

〔2〕过定点A(1,1)作直线与双曲线交与P，Q两点，假设点A是线段PQ的中点，这样的直线存在吗？

例5．如果直线双曲线仅有一个公共点，求的值。

如果直线与双曲线右支有两个公共点求的取值范围。

例6.假设直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求的取值范围。

例7.双曲线C：及直线：

〔1〕假设与C有两个不同的交点，求实数的取值范围：

〔2〕假设与C交于A、B两点，O是坐标原点，且ΔAOB的面积为，求实数值。