球的内接外切.docx

长方体的体对角线与棱长的关系

长方体与球

CB

C

B

A

D

O

截面图如右图：实质构造直角三角形，联系半径与长方体的长宽高。半径为体对角线的一半。

2.球与正方体内接，外切，棱切问题

；

正方体的内切球与其外接球的体积之比为〔〕

A1：B1：3C1：3D1：9

3．正三棱柱的内切求，外接球

图6例题：底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与外表积之比。

图6

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，那么，正三棱柱的高为，由中，得

，

，

棱锥的内切、外接球问题

图1例

图1

内切球半径为：外接球半径为：

分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．

正四面体的外表积．

正四面体的体积

，

在中，，即，得，得

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为(为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。

割补法—补型复原法

〔1〕将正四面体补成正方体。

〔2〕将相对棱长相等的三棱锥补成长方体。

〔3〕将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如下图，。

例：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为3,4,5.求该三棱锥外接球的体积。

解：将三条侧棱PA，PB，PC两两垂直三棱锥P-ABC补成一个长方体，〔如上图所示〕，那么两两垂直的三条侧棱就是长方体的长、宽、高，所以该长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径。

设三棱锥外接球的直径为2R，那么

所以球的体积。

分割法

对于给出的一个不规那么的几何体，不能直接套用公式,常常需要运用分割法,按照结论的要求，将原几何体分割成假设干个可求体积的几何体，然后再求和．

例2：如图4，直三棱柱的体积为V，点Ｐ、Ｑ分别是侧棱上的点，且，求四棱锥的体积。

分析：由于所求四棱柱的高及底面APQC的面积都不易求得，因此考虑将四棱锥B-APQC分割后求解。

解：如图4，连接PC，将四棱锥B-APQC分割成两个三棱锥B-APC和B-PCQ，因此

连接AQ，因为所以三棱锥B-PCQ的体积

。

又

所以。

等积变换法

等积变换法也称等积变形法或等积转化法，它是通过选择适宜的底面来求几何体体积的一种方法。求三棱锥的体积时可采用此方法。

例：如图1所示，在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，，试求三棱锥的体积．

习题

例题：1。正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的外表积是

解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，那么R=，S=12。

2．一个球与棱长为1的正方体的12条棱都相切，那么球的体积

解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。R==1==V=

3．将棱长为1的正方体削成体积最大的球，那么球的体积为

解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。

R=，V=。

4．P、A、B、C、是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，那么球的体积是

解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，那么球是正方体的外接球，

所以R=，V=。

.5是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉局部的体积是原正方体体积的几分之几?

分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.

解：设正方体的棱长为a，那么正方体的体积为a3.

三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=.所以△AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.所以锯掉的局部的体积为.

又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.

6.假设与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，那么球的外表积是____________.

分析：画出球的轴截面，那么球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，那么球的半径为=5，所以球的外表积是4π×52=100π.

答案：100π

三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边