精练07 尺规作图及简单证明（原卷版）.pdfVIP

精练7--尺规作图及简单证明

1．已知四边形ABCD为矩形（AD＞AB）．

（1）尺规作图：在BC上取一点E，AE＝AD；过点D作DF⊥AE，交AE于点F（基

本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；

（2）求证：DF＝DC．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）

证明：

∵①，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠FAD＝∠AEB．

∵DF⊥AE，

∴②．

∴③．

在△AFD与△EBA中，

，

∴△AFD≌△EBA（AAS）．

∴④．

又∵AB＝CD，

∴DF＝DC．

2．如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于点O．

（1）请用尺规完成基本作图：过点A作直线BD的垂线，垂足为E；在直线AE上作点G

使得BG＝BA，连接BG；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若DE＝3BE，求证：BG＝CO．

3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD．

（1）尺规作图：在AB上截取AE，使得AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保

留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，求证：△CDP为直角三角形．

（请补全下面的证明过程，不写证明理由）

证明：

∵AE＝AD，

∴

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠AED＝∠EDC，

∴

∵CF平分∠BCD，

∴

又∵AD∥CB，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∴∠ADC+∠BCD＝90°，

∴

∴∠CPD＝90°，

∴△CDP是直角三角形．

4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝4．

（1）在平面内求作点D，D到直线AB、BC的距离相等，且CD＝CB，请用直尺和圆

规作出符合条件的点D（保留作图痕迹，不需写出作法）；

（2）在（1）的条件下，求以A、B、C、D为顶点构成的四边形的周长．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，点M在DC上，连接AM，AM＝AB．

（1）过点B作BN⊥AM，垂足为N（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕

迹）；

（2）根据（1）中作图，求证MN＝MC．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，AB∥CD且AB＝CD

∵BN⊥AM

∴∠ANB＝①

∴∠ADC＝∠ANB

∵AB∥CD

∴∠NAB＝∠AMD

在△BNA与△ADM中

∴△BNA≌②

∴AN＝DM

∵AB＝AM，AB＝CD

∴AM＝CD

∴AM﹣AN＝③﹣④

∴MN＝MC

6．如图，在钝角△ABC中，∠BAC＞90．

（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（不写作法，保

留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，过点B作BH⊥AC交CA的延长线于点H，连接AD，求证∠ADE

＝∠HBC．

请补完图形，并完成下列证明过程：

证明：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA＝，AE＝CE，

在△ADE与△CDE中

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE＝∠CDE，

∴BH⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BHC＝∠DEC＝90°，

∴DE∥BH（）（填写文字依据）