预习第13讲 圆的方程 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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第13讲圆的方程

1.理解圆的定义；

2.掌握圆的标准方程和一般方程；

3.会利用待定系数法或几何法求圆的方程；

4.理解曲线的轨迹方程的概念，会求简单曲线方程.

1圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

2圆的标准方程

x-a2+y-b2=r

3圆的一般方程

x

4求圆方程的方法

(1)待定系数法

先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出D,E,F；

(2)直接法

直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.

5求轨迹方程

(1)曲线方程的理解

若动点P(x,y)的横坐标x，纵坐标y满足方程fx,y=0，则在直角坐标系中，动点P的轨迹为由方程f

(2)求轨迹方程的方法

①代数法，建立动点的横、纵坐标x,y的方程；

②几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.

(3)代数法求轨迹方程的一般步骤

①设动点的坐标(x,y)，

②根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于x,y的方程；

③化简方程得到动点的轨迹方程．

【题型一】对圆标准方程和一般方程的理解

相关知识点讲解

1圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

2圆的标准方程

x-a2+y-b2=r

证明在直角坐标系中，设圆上任意一点M(x,y)，由圆的定义可得MA=r，

由两点距离公式可得(x-a)

两边平方得x-a2+y-b

若点M(x,y)在⊙A上，点M的坐标满足方程(*)；反过来，若点M的坐标(x,y)满足方程(*)，就说明点M(x,y)在⊙A上.

3圆的一般方程

x

解释

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b

比如圆(x-1)2+(y-2

但形如x2

比如x2+y2-2x+2y+3=0

(2)D,E,F要满足什么条件方程才能表示圆呢？

证明x2

对其左边进行配方得(x+D

当D2+E2-4F0

当D2+E2-4F=0

当D2+

【典题1】圆(x+1)2+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为(????

A．(1,1),2 B．(1,1),

C．(-1,-1),2 D．(-1,-1),

【答案】D

【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径.

【详解】根据圆的标准方程(x+1)2

即可得圆心坐标为-1,-1，半径为2.

故选：D

【典题2】已知圆C:x2+y2+mx+1=0的面积为

A．±2 B．±22 C．±42 D

【答案】B

【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.

【详解】因为圆C:x2+

所以S=πr2

故选：B.

变式练习

1.已知圆的圆心在(-3,4)，半径为5，则它的方程为(????)

A．x-32+y-4

C．(x+3)2+(y-4)

【答案】C

【分析】根据圆的标准方程得解.

【详解】因为圆心为(-3,4)，半径为5，

所以圆的标准方程为(x+3)2

故选：C

2.曲线x2+y2

A．7π B．7π C．3π

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解.

【详解】由x2

得(x+1)2

故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为

S=π

故选：D.

3.若方程x2+y2+mx-my+2=0表示一个圆，则

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得m的范围，对选项进行判断即可.

【详解】由方程x2+y2+mx-my+2=0

依题意它表示一个圆，须使m22-20，解得：m-2或m2，在选项中只有

故选：D.

4.方程x2+y2

A．4π B．6π C．8π

【答案】C

【分析】由圆的方程，表示出圆的半径，求出半径的最大值，即可确定面积的最大值.

【详解】方程x2+y

则所给圆的半径r=-

所以当m=2时，半径r取最大值22，此时最大面积是8

故选：C

【题型二】求圆的方程

相关知识点讲解

(1)待定系数法

先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出D,E,F；

(2)直接法

直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.

【典题1】已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(﹣2，2)，C(1，﹣7)，则该三角形外接圆的圆心及半径分别为(????)

A．(2，﹣2)，5 B．(1，﹣2)，5

C．(1，﹣2)，5 D．(2，﹣2)，5

【答案】C

【分析】根据题意，设三角形外接圆的圆心为M，其坐标为(a，b)，半径为r