预习第09讲 直线的倾斜角与斜率 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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第09讲直线的倾斜角与斜率

1.掌握直线的倾斜角的概念；

2.掌握直线的斜率的概念，并会求直线斜率；

3.掌握有关斜率的最值问题.

1直线的倾斜角

(1)定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0

(2)范围

直线l倾斜角α∈[0

l与x轴垂直时，α=90

2直线的斜率

(1)定义

直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tanα(α≠90

当直线l与x轴平行或重合时，α=0°

当直线l与x轴垂直时，α=90°

(2)倾斜角α与斜率k之间的关系

k=tanα，α∈[0

(3)斜率公式

经过两点P1(

使用斜率公式的时候要注意x1≠

(4)求斜率的方法

(i)已知直线上两点，根据斜率公式k==y

(ii)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tanα(α≠90°

(5)斜率的几何意义

形如y-bx-a的代数式可以理解为过点M(a,b)与点N(x,y)直线的斜率k

如y+2x-1的代数式可以理解为过点M(1,-2)与点N(x,y)直线的斜率k

【题型一】直线倾斜角与斜率的概念

相关知识点讲解

1直线的倾斜角

(1)定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0

解析

①每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；

②倾斜角表示直线的倾斜程度.

【例】如图，直线l的倾斜角为()

A．60°B．120°C．30°D．150°

解析105°+45°=150°，选D.

(2)范围

直线l倾斜角α∈[0

l与x轴垂直时，α=90

2直线的斜率

直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tanα(α≠90

当直线l与x轴平行或重合时，α=0°

当直线l与x轴垂直时，α=90°

【例】若直线l的斜率为-1，则其倾斜角是.

解析∵k=tanα=-1，∴α=3π

【典题1】下列说法正确的是(????)

A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；

B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；

C．任何一条直线都有唯一的斜率；

D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．

【答案】D

【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.

【详解】对于A:直线的倾斜角α=2π3,β=π3

对于B:两直线的倾斜角相等为π2,斜率不存在,所以B

对于C:当直线的倾斜角为π2时直线斜率不存在，所以C

对于D:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以D正确.

故选：D.

【典题2】直线l1，l2，l3，l4

????

A．l1 B．l2 C．l3

【答案】B

【分析】

由题图确定直线斜率的大小关系即可.

【详解】由图知：kl3

故选：B

变式练习

1.下列说法正确的是(????)

A．若直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为

B．直线的倾斜角α的取值范围是0≤α

C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大

【答案】B

【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可．

【详解】对于选项A：直线倾斜角的的范围是0,π.例如，若直线的斜率为tan5π4=1，则其倾斜角为π

对于选项B：直线倾斜角的的范围是0,π，故B

对于选项C：当直线垂直于x轴时，其倾斜角为π2，∵tanπ2无意义，∴

对于选项D：在0,π，正切函数y=tanx

故选：B

2.直线x=3的倾斜角为(????

A．0 B．π6 C．π3 D

【答案】D

【分析】根据直线倾斜角的定义可判断.

【详解】由直线x=3，可得该直线的倾斜角为π

故选：D.

3.已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为(????)

A．α B．90°-α

C．180°-α D．90°+α

【答案】C

【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案.

【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为180°-α.

故选：C.

4.下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是(????)

A．任意一条直线都有斜率

B．倾斜角的范围为[0,

C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴

D．若直线的倾斜角为α，则sin

【答案】B

【分析】利用直线斜率和倾斜角的概念，逐项判断即得.

【详解】对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误；

对于B，直线倾斜角的范围为[0,π)，

对于C，垂直于y轴的