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第05讲空间中点、直线和平面的向量表示
1.掌握空间直线方向向量的概念及其求法;
2.掌握空间平面的法向量的概念及其求法.
1空间中直线的向量表示
(1)直线的方向向量
若A、B是直线l上的任意两点,则AB为直线l的一个方向向量;与AB平行的任意非零向量也是直线l
(2)直线的向量表示
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
2空间中平面的向量表示
(1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定
取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,
使OP=
(2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定
若向量n所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,向量n叫做平面α的法向量
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
①建立适当的坐标系;
②设平面α的法向量为n
③求出平面内两个不共线向量的坐标?a=(
④根据法向量定义建立方程组n?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面α的法向量.
【题型一】求空间中直线的方向向量
相关知识点讲解
(1)直线的方向向量
若A、B是直线l上的任意两点,则AB为直线l的一个方向向量;与AB平行的任意非零向量也是直线l
注同一直线的方向向量不唯一.
(2)直线的向量表示
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
【例】若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为
A.(3,2,1) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(1,2,3)
【典题1】已知直线l的一个方向向量m=3,-2,1,且直线l经过Aa,2,-1和B-2,3,b两点,则a+b=(
A.-2 B.-1 C.1 D.2
变式练习
1.设d1与d2都是直线Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,则下列关于d1与d2
A.d1=d2 B.d
C.d1//d2 D.
2.(多选)直线l的方向向量a=(1,2,3),点A(-1,0,2)在直线l上,则以下点在直线l
A.(0,2,5)B.(1,4,7)C.(2,6,11)D.(-1,1,2)
3.如图,在空间直角坐标系D-xyz中,正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长为4,高为2,O为上底面中心,E,F,G分别为棱AD、AB、CD的中点.若平面
??
A.2,1,-1 B.2,-1,1 C.2,1,-2 D.2,-1,2
【题型二】求空间中平面的法向量
相关知识点讲解
空间中平面的向量表示
(1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定
取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,
使OP=
(2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定
①若向量n所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,向量n叫做平面α的法向量
注一平面的法向量不唯一.
【例】正方体ABCD-ABCD中,边长为2,那以下是平面ABCD的法向量,是平面BCCB的法向量.
A.(0,0,2) B.(1,0,0) C.(0,2,0) D.(0,1,0)
②给定一个点A和一个向量n,那么过点A,且以向量n为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P∣n
【例】已知平面α=P∣n?P0P=0,其中点P0
A.(3,2,1) B.(-2,5,4) C.(-3,4,5) D.(2,-4,8)
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
①建立适当的坐标系;
②设平面α的法向量为n
③求出平面内两个不共线向量的坐标?a=(
④根据法向量定义建立方程组n?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面α的法向量.
角度1法向量的理解
【典题1】已知直线l的一个方向向量为a=-2,1,t,平面α的一个法向量为m=4,-2,-2,若l⊥α,则实数
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【典题2】已知点Pn1,2,3是法向量为n=1,1,1的平面ABC内的一点,则下列各点中,不在平面ABC
A.3,2,1 B.-2,5,4 C.-3,4,5 D.2,-4,8
变式练习
1.已知直线l的方向向量为v=6,2x-1,2,平面α的法向量为n=x,2,x-1,若l?α,则实数x
A.-32 B.-13 C.
2.已知向量AB=2,4,x,平面α的一个法向量n=1,y,3,若AB?α
A.x=6,y=2 B.x=2,y=6
C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0
3.平面α的一个法向量n=1,2,3,P1,1,1,P∈α,Q∈α,则点
A.-1,-1,-1 B.4,2,-1 C.3,
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