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高中物理强基计划-第7部分-静电场

在高中物理课程中，我们学习了有关静电场的基本概念和主要公式；在这个模块中，我们再介绍一些拓展内容，例如：高斯定理、电势的计算、电像法、电容(电容电路)、电场能量等。

1、高斯定理

原则上说，根据点电荷场强公式和场强叠加原理可以计算任意分布的电荷所产生的电场。但是对于电荷连续分布等复杂情况，需要用到较多的数学知识(如微积分),计算量也较大。下面我们再介绍一个计算场强的方法——高斯定理。

在阐述这个定理之前，我们需要先介绍一个物理量。在高中课程中我们已经知道，可以用电场线的疏密来描述场强的大小。在如图所示的情景中，点电荷在球面S?、S?处产生的场强不同，但通过观察易知：穿过S?、S?面的电场线总根数相同，这是一个新的物理量，类比磁通量的概念，这个物理量称为电通量。

1.电通量

(1)定义

①当匀强电场E与面积为S的平面垂直时，穿过该平面的电通量φ=ES

②如图所示，当匀强电场E与面积为S的平面不垂直时，穿过该平面的电通量φ=ES?=EScosθ或①=E?S=EScosθ

③一般情况下(非匀强电场、曲面情况),穿过某一面积的电通量定义为①=ZE·△S=?E.ds,

其中，任意面元△S的法线方向定义为该面元的方向。

④计算电通量时，S应为有效面积。如图所示，平面面积为S,但只有S?区域内有电场，则电通量φ=ES?

(2)电通量也可以用穿过某一截面的电场线的总根数描述。

(3)电通量是标量，遵守算数加法法则。但电通量有正负，一个曲面有正反两个面，定义从某一个面穿过的电通量为正，则从另外一个面穿过的电通量为负。

2.高斯定理

下面我们不加证明的给出高斯定理。

真空静电场中穿过任意闭合曲面S(称高斯面)的电通量可表示为φ=4πk∑q;,式中k是静电力常量，Zq;为闭合曲面内全部电荷的代数和。

(1)计算电通量φ时，E为空间的总电场

(2)∑q只是对高斯面内的电荷求和，高斯面外的电荷对电通量无贡献。

利用高斯定理也可以求解场强，我们先通过一个最简单的例子说明问题。如图所示，求解与正点电荷q距离为r处的A点的场强，可以采用如下方法。以正点电荷为球心，r为半径做闭合球面(构造高斯面),由对称性可知，球面上各处场强大小都相同(等于A点场强),方向与球面垂直，由高斯定理可得：E×4πr2=4kπq,解得：,这与我们已知的结果相同。

当电荷分布具有某种对称性时，合理地选取高斯面，利用高斯定理求解场强可简化问题，具体技巧请大家结合例题学习。

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说明：高斯定理的证明、静电场是有源场。

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下面补充一个可能会用到的数学知识：如图所示，若球半径是R,球冠的高是h,则球冠面积是

S=2πRh。

【例1】(1)设均匀带电球壳半径为R、总带电量为Q,求距离球心r处的场强大小(不讨论R=r的

情况)

(2)设均匀带电球体半径为R、总带电量为Q,求距离球心r处的场强大小(不讨论R=r的

情况)

【答案】(1);(2)

【例2】如图所示，一无限长直线均匀带电，电荷线密度为A,考察点P到直线的距离为r,求P点的

场强大小。

【答案】

【例3】设均匀带正电的无限大平面的面电荷密度为σ,求平面一侧距离平面r处的场强【答案】E=2kπσ(为匀强电场，与距离r无关)

【例4】如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内(y,z方向无限延伸)均匀分布着密度为p的正电荷，

此外均为真空。试求|x≤d处的场强分布。

【答案】E=4kπp:

【例5】一点电荷q位于立方体中心，立方体边长为a,求：

(1)通过立方体一面的电通量

(2)如果该电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少

【解析】(1)点电荷位于立方体中心时，通过立方体表面的总电通量为4kπq,由对称性可知，通过一

个面的电通量为

(2)点电荷位于立方体的一个顶点时，可将该立方体看做8个同样的立方体组成的大立方体的一角，q位于大立方体的中心。因此，小立方体有三个面没有电场线穿过，电通量为零；

另外三个面的电通量均为

【答案】见解析

【例6