山东省高中数学 §311 两角和与差的余弦公式导学案 新人教B版必修4.docx

PAGE

PAGE1

§3.1.1 两角和与差的余弦公式

课前导学

（一）学习目标

经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。

用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。

能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

（二）重点难点

重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用．难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用．

（三）温故知新

特殊角的三角函数值

30

30°

45°

60°

90°

sin

cos

sin(??)???;cos(??)?

若?a,b???，则它们的数量积a?b?

两个向量a?(a,a)，b?(b,b

)，则它们的数量积a?b???．

1 2 1 2

课中导学

◎学习目标一：知道两角和差的余弦公式的推导过程．

（一）公式推导

cos(???)?

推导过程：在直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边分别作角?,?,其终边分别与单位圆交于

P?cos?,sin??,P?cos?,sin??,则?POP ? ,

1 2 1 2

??? ?

?

?

设向量a OP ;

1

? ?

b?OP ? ,

2

则 ? ? ?? ? ?

则 ? ? ?

a b a b

cos?= ;

? ?a?b?

? ?

1 2

yy = .

1 2

cos(???)?

推导过程：

◎学习目标二：能记住两角和差的余弦公式，并能根据公式求解决求值问题.

（二）公式的正用例1． 求值：

（1）cos15? （2）cos105

5

12（3）cos ? sin15?

12

（4）

例2证明：cos???(2k?1)????cos?

变式：利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(?

2

??)?sin?； （2）sin(?

2

?)?cos?。

（3）cos(3?

2

??)??sin? （4）sin(3?

2

??)??cos?

（三）公式的逆用

例3．求值：

（1）cos58?cos37?

sin58?sin37?

（2）cos(???)cos??sin(???)sin?

3（3）cos100cos40?sin80 sin40 （4）cos75?cos15??sin255?sin15?

3

（5）

cos15? 2sin15 （6）

22 2

2

sinx?1cosx2 2

（四）公式的综合应用

例4（1）已知cos???4(?

????),求cos(?

??),cos(?

??)

5 2 6 6

★变式1.已知sin??4(?

????)，求cos(?

??)．

5 2 4

（2）设??(?

2

求cos(???)

,?),??(3?

2

,2?), 若cos???1,sin??? ,

32 2

3

变式2.已知sin?=-2,??(?,3?),cos?=3,??(3?,2?),求cos(?-?)的值.

3 2 4 2

例5：（1）已知sin(?

??)?4，且?

???

3?，求cos?．

4 5 4 4

（2）若?、?均为锐角，且cos??4,cos(???)??16,求cos?

5 65

（3）已知cos(?+?)=4,cos(?-?)=-3,?-??(?,?),?+??(3?,2?),求cos2?.

5 5 2 2

变式：已知sin(30???)

360????150?,求cos?的值.

= ,

5

小结：

课后导学

1.cos(?15?)?（ ） ? ? ?

6

2

6

2

6

2

6

2

A. B. C. D.

2 2 4 4

2.设??(0,?)，若sin??3，则

2 5

cos(???)的值是 ( )

24

2

7 1

A. B.

5 5

C.?75

D.?15

sin(x?y)sin(x?y)?cos(x?y)cos(x?y)的结果是( )

A.sin2x B.cos2y C.?cos2x D.?cos2y

若sin??sin??1?

,cos??cos