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第2章时域离散信号和系统的频域分析第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性习题与上机题

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(FourierTransform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1）

第2章p(时t)域离散信号和系统的频域分析理想抽样tT

第2章时域离散信号和系统的频域分析p(t)

第2章时域离散信号和系统的频域分析jP34式（2.2.5）r=1iP24图（）c)P46图（）DTFT

第2章时域离散信号和系统的频域分析数字频率归一化频率Fs=1000Hz,则100Hz对应0.2Fs=2000Hz,则100Hz对应0.1

第2章时域离散信号和系统的频域分析FT为FourierTransform的缩写。FT［x(n)］存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（）X(ejω)的傅里叶反变换为（）正变换为离散时间傅里叶变换DTFT离散频率傅里叶变换DFFT?

第2章时域离散信号和系统的频域分析【例2.2.1】设x(n)=R(n)，求x(n)的傅里叶变换。N解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。

第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.1R(n)的幅度与相位曲线4

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1．FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：(2.2.5)Ｍ为整数观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。

第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.2cosωm的波形

第2章时域离散信号和系统的频域分析2．线性设X(ejω)=FT［x(n)］,X(ejω)=FT［x(n)］,那么1122(2.2.6)式中,a，b是常数。

第2章时域离散信号和系统的频域分析3．时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)

第2章时域离散信号和系统的频域分析4．FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列x(n)满足下式：e（2.2.9）则称x(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什e么性质，将x(n)用其实部与虚部表示：ee----eveno---oddr---reali----image

第2章时域离散信号和系统的频域分析将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（）（）

第2章时域离散信号和系统的频域分析上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：（）将x(n)表示成实部与虚部，如下式：o即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。

第2章时域离散信号和系统的频域分析5．时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n)则Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2.31）证明

第2章时域离散信号和系统的频域分析令k=n－m，则

第2章时域离散信号和系统的频域分析6．频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则(2.2.32)(2.2.33)证明

第2章时域离散信号和系统的频域分析交换积分与求和的次序，得到：(2.2.34)该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。

第2章时域离散信号和系统的频域分析7．帕斯维尔（Parseval）定理（）证明

第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.2.1序列傅里