数字信号处理性能函数课件.pptVIP

数字信号处理3.2.2性能函数表示式及其几何意义3.2.3最陡下降法

自适应滤波器的分析研究中，性能函数是一个重要函数将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，可以用最小均方误差表示性2

令V=W-W*V称为偏差权向量，它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性(3.2.17)

因为R是对称的，正定或半正定的，利用它的特征值和特xx征向量再进一步简化，假设R是N×N维，它的xxNxxTT

式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，q称为特征向量，满足下式：i将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到令

则观察(3.2.24)式，该式将V坐标中的Rxx的特征向量变成了V′坐标中的单位向量。也就是说，qi′为V′坐标中的第i个单位向量，qi′亦是Λ矩阵对应于λi的特征向量。

下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：

图3.2.5二维权矢量性能表面

按照(3.2.17)式，有或当c=ζ时，对应椭圆的中心，V=W-W,则相当于W坐标平移到V*min坐标的原点，即V坐标的原点对应W坐标的最佳点W

即显然，上式是一个椭圆方程，v′和v′是椭圆族的主轴，如果21λ＜λ,则v′是长轴，v′是短轴。因此(3.2.24)式起坐标旋2121转的作用，将vv旋转到主轴上，形成v′v′主轴。对于维数N1212＞2的情况，长轴对应最小特征值，按照上面的椭圆方程长轴正比于；短轴对应于最大特征值，正比于。

1.最陡下降法的递推公式将(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到在上式两边都减去W*jj(3.2.32)j+1xxj

此时，［·］项已变成对角矩阵，假设起始值是V′，可得到上0

再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入V=W-W*式，jj(3.2.35)上面递推公式中，［·］部分已变成对角矩阵，这使分析与研究自适应特性变得简单了。

由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于∞时，权系数收敛最佳时的条件。按照上满足时，才能得到：。(3.2.37)式即是最陡下降法的敛条件，式中λ是R的最大特征值。(3.2.36)式中的0表示0maxxx矢量。

过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数的增按照(3.2.34)式，权矢量的递推解是第i个权系数递推方程是令

(3.2.40)i=1,2,3,…,N(3.2.41)因为一般μ取得比较小，可以近似为i=1,2,3,…,N(3.2.42)

上式说明第i个加权系数按照N个指数和的规律变化，由初始值下面分析性能函数的过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数如将(3.2.40)式代入，得到

上式说明性能函数也是按N个指数和的规律变化，和加权系我们已经知道，性能函数和各个加权系数都是按照N个具有不同时常数的指数和的规律变化的，时常数和特征值成反比，不同的特征值对应的收敛时间是不一样的，但最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应最小的特征值，

但为保证收敛，μ不能取得太大，受限于最大特征值λ这样，如果特征值比较分散时，即λ和λ使最陡下降法的收敛性能很差。下面分析μ值的影响。maxminμ值收敛过程影响很大，首先必须选择得足够小，使之满但按照(3.2.47)、(3.2.48)式，它影响收敛速度。一般希望在保证收敛的条件下，选大一些，使时间常数小一些，收敛的速度快一些。但当μ选择得太大时，即使收敛条件满足，也可能形成振动性的过渡特性。在图3.2.7中，图(a)是μ较小时的情况；图(b)是μ较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。

图3.2.7值的影响