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不等式与实际问题的求解与应用
一、不等式的概念与性质
不等式的定义:用“”、“”、“≥”、“≤”、“≠”等不等号表示两个数之间大小关系的式子。
不等式的性质:
不等式两边加(减)同一个数(或式子),不等号方向不变;
不等式两边乘(除)同一个正数,不等号方向不变;
不等式两边乘(除)同一个负数,不等号方向改变。
二、不等式的解法
解一元一次不等式:
去分母;
合并同类项;
化系数为1。
解不等式组:
分别求出每个不等式的解集;
根据“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则,确定不等式组的解集。
三、不等式在实际问题中的应用
线性不等式:
线性不等式的定义;
线性不等式的解法;
线性不等式在实际问题中的应用。
线性不等式组:
线性不等式组的定义;
线性不等式组的解法;
线性不等式组在实际问题中的应用。
四、不等式的进一步应用
绝对值不等式:
绝对值不等式的定义;
绝对值不等式的解法;
绝对值不等式在实际问题中的应用。
多项式不等式:
多项式不等式的定义;
多项式不等式的解法;
多项式不等式在实际问题中的应用。
分式不等式:
分式不等式的定义;
分式不等式的解法;
分式不等式在实际问题中的应用。
五、不等式与实际问题的综合应用
经济问题:
成本问题;
利润问题。
生活问题:
行程问题;
分配问题。
科技问题:
比例问题;
优化问题。
不等式的概念与性质;
不等式的解法;
不等式在实际问题中的应用;
不等式的进一步应用;
不等式与实际问题的综合应用。
习题及方法:
一、不等式的概念与性质
习题1:判断下列各式是否为不等式,并说明理由。
3x+4=2x-1
52x
x^2-3x+2=0
2x-5≤3
不是不等式,因为没有不等号。
是不等式,因为含有不等号“”。
不是不等式,因为没有不等号。
是不等式,因为含有不等号“≤”。
习题2:已知不等式2x-37,求x的取值范围。
将不等式两边加3得:2x10
再将不等式两边除以2得:x5
所以x的取值范围是x5。
二、不等式的解法
习题3:解不等式5x-23x+1。
将不等式两边减3x加2得:2x3
再将不等式两边除以2得:x1.5
所以不等式的解集是x1.5。
习题4:解不等式组:
2x-53
x+4≤8
解得:x4
解得:x≤4
根据原则,取交集得:x=4
所以不等式组的解集是x=4。
三、不等式在实际问题中的应用
习题5:某商品的原价为200元,打8折后的价格不少于120元,求该商品打折后的价格范围。
设打折后的价格为p元,则有0.8*200≤p≤200
计算得:160≤p≤200
所以商品打折后的价格范围是160≤p≤200。
四、不等式的进一步应用
习题6:某数的平方大于等于10,求该数的取值范围。
设该数为x,则有x^2≥10
开方得:x≥√10或x≤-√10
所以该数的取值范围是x≥√10或x≤-√10。
习题7:解绝对值不等式|x-5|3。
分解为两个不等式:x-53和-(x-5)3
解得:x8和x2
取交集得:2x8
所以不等式的解集是2x8。
五、不等式与实际问题的综合应用
习题8:某班级有男生和女生共60人,男生人数不少于女生人数的两倍,求男生和女生的人数范围。
设男生人数为x,女生人数为y,则有x+y=60和x≥2y
解得:y≤20和x≥40
所以男生人数范围是40≤x≤60,女生人数范围是0≤y≤20。
习题9:某工厂生产A产品和B产品,A产品每件利润为20元,B产品每件利润为30元。若工厂每天至少生产一件B产品,求工厂每天的最大利润。
设生产A产品x件,B产品y件,则有x+y≥1和总利润为20x+30y
由于A产品每件利润较低,所以尽量少生产A产品,多生产B产品
当y=1时,最大利润为30元。
习题10:某商店进行打折活动,购买不超过2件商品时打8折,购买超过2件商品时打7折。若某顾客购买n件商品,求该顾客的最大折扣。
当n≤2时,最大折扣为8折;
当n2时,最大折扣为7折。
所以顾客的最大折扣取决于购买商品的数量,如果购买不超过2件商品,则最大折扣
其他相关知识及习题:
一、不等式的扩展
绝对值不等式:
习题11:解绝对值不等式|2x-5|3。
分解为两个不等式:2x-53和-(2x-5)3
解得:x4和x1
取并集得:x1或x4
所以不等式的解集是x1或x4。
分式不等式:
习题12:解分式不等
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