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【基础】2025年西安交通大学025200应用统计
《432统计学之计量经济学》考研基础训85题
(计算题)
主编：掌心博阅电子书
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特别说明
本书严格按照该科目今年考研专业课真题题型、试题数量和考试难度出题，结合本专业考研大纲整理
编写，由考研学长严格审核校对。其内容涵盖了本科目考研常考试题及重点试题，针对性强，是报考本校
该科目考研专业课复习的重要资料。
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特别说明
本书由本机构编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写，仅
供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权请联系我们立即处理。
一、计算题
1．对多元线性回归模型，试证明随机干扰项的方差的无偏估计量为。其中e为
相应样本回归模型的残差向量。
【答案】由于被解释变量的估计值与观测值之间的残差
残差的平方和为
因为为对称等幂矩阵，即
所以有
tr
其中符号“”表示矩阵的迹，其定义为矩阵主对角线元素的和。于是
以上过程既导出了随机干扰项方差的估计量为
也证明了该估计量是无偏估计量。
2．对一元回归模型
如果己知，则可对原模型以权相乘后变换成如下的二元模型：
对该模型进行OLS估计就是加权最小二乘法。试证明该模型的随机干扰项是同方差的，并求出的上
述加权最小二乘估计量。
【答案】由于
因此，变换后的模型是同方差的。
记变换后的模型的样本函数的离差式为
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对该式的OLS回归，就是求适当的，以使
最小。再对该式关于求偏导，并令偏导数为零，得如下正规方程组：
解线性方程组，则容易得到参数的OLS估计量为
其中，。
进一步令
且
则上述估计式可简化为
3．没有截距项的一元回归模型青岛掌к心博阅电▦子书
称之为过原点回归（regressionthroughtheorigin）。试证明：
1
（）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组
则可以得到的两个不同的估计值：
2
（）在基本假设下，与
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