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人教版八年级上第十一章三角形专题二三角形的叠放、折叠问题
类型1三角形叠放问题1.[新考向身边的数学]生活中到处都存在着数学知识,
只要同学们学会用数学的眼光观察生活,就会有许多
意想不到的收获,如图所示的两幅图都是由同一副三
角板拼凑得到的.(1)请你计算出图①中的∠ABC的度数;123456
【解】∵∠F=30°,∠EAC=45°,∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°.∵∠FBC=90°,∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°.123456
(2)图②中AE∥BC,请你计算出∠AFD的度数.【解】∵∠B=60°,∠BAC=90°,∴∠C=30°.∵AE∥BC,∴∠CAE=∠C=30°,∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°.123456
2.取一副三角板按图①拼接,固定三角板ADC,将三角板
ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC,如图②所示.
设∠CAC=α(0°<α≤45°).123456
(1)当α=15°时,求证:AB∥CD;【证明】∵∠BAC=∠BAC-∠CAC=45°-15°
=30°,∴∠BAC=∠C,∴AB∥CD.(2)连接BD,当0°<α≤45°时,∠DBC+∠CAC+
∠BDC的度数是否变化,若变化,求出变化范围;若不
变,求出其度数.123456
【解】当0°<α≤45°时,∠DBC+∠CAC+∠BDC
的度数不发生变化,为105°.理由如下:连接CC,如
图②所示,在△BDO和△OCC中,∠BOD=
∠COC,∴∠BDO+∠DBO=∠OCC+∠OCC,
∴∠DBC+∠CAC+∠BDC=∠BDO+α+∠DBO
=∠OCC+∠OCC+α=180°-45°-30°=
105°,即当0°<α≤45°时,∠DBC+∠CAC+
∠BDC的度数不发生变化,为105°.123456
3.[2024佛山模拟]阅读并填空.将三角尺(△MPN,∠MPN
=90°)放置在△ABC上(点P在△ABC内),如图①所
示,三角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C.我们
来探究:∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系.123456
(1)特例探索:若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB
=度;∠ABP+∠ACP=度;【点拨】∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°,
∵∠P=90°,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠ABP
+∠ACP=130°-90°=40°.9040123456
【解】∠ABP+∠ACP=90°-∠A.理由:∵∠PBC+∠PCB+∠ABP+∠ACP+∠A
=180°,∠PBC+∠PCB=90°,∴90°+∠ABP+∠ACP+∠A=180°,∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°,∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.(2)类比探索:求∠ABP,∠ACP,∠A的关系,并说明
理由;123456
(3)变式探索:如图②所示,改变三角尺的位置,使点
P在△ABC外,三角尺的两边PM,PN仍恰好经
过点B和点C,求∠ABP,∠ACP,∠A的关
系,并说明理由.123456
【解】∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由:设AB交PC于O,如图.∵∠AOC=∠POB,∴∠ACO+∠A=∠P+
∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.123456
类型2三角形折叠问题4.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,将△ABD沿AD
翻折得到△AED,AE与BC相交于点F,若AE平分
∠CAD,∠B=40°,∠C=35°.(1)求证:∠CAF=∠C;123456
【证明】∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠B=40°,∠C=35°,
∴∠BAC=105°.∵AE平分∠CAD,∴∠CAE=∠DAE.由翻折,得∠BAD=∠DAE,∴∠BAD=∠DAE=∠CAF=35°,
∴∠CAF=∠C.123456
(2)求∠1的度数.【解】∵∠CAE=∠C=35°,∴
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