高中数学一轮复习课件9.5.pptx

第五节

平行、垂直综合问题(全国卷5年13考);考点一平行与垂直关系的证明

【题组练透】

1.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.;(1)求证:AM∥平面BDE.

(2)求证:AM⊥平面BDF.;【证明】(1)记AC与BD的交点为O,连接OE,

因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,;所以AM∥OE.因为OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.;(2)连接OM,OF,因为正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AC⊥BD,所以BD⊥平面ACEF,因为AM在平面ACEF内,所以BD⊥AM,由题意易证四边形AOMF为正方形,在正方形AOMF中,对角线AM⊥OF,又因为BD∩OF=O,所以AM⊥平面BDF.;2.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:;(1)PA⊥底面ABCD.

(2)BE∥平面PAD.

(3)平面BEF⊥平面PCD.;【证明】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于两个平面的交线AD,

所以PA⊥底面ABCD.;(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,

所以AB∥DE,且AB=DE,

所以ABED为平行四边形,

所以BE∥AD,

又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,

所以BE∥平面PAD.;(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,

所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD,

所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点,

所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又因为BE∩EF=E,所以CD⊥

平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.;3.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD.;(1)求证:AC⊥平面BDE.

(2)若AF∥DE,DE=3AF,点M在线段BD上,且BM=BD,求

证:AM∥平面BEF.;【证明】(1)因为DE⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,

所以DE⊥AC,

因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,

又BD∩DE=D,从而AC⊥平面BDE.;(2)如图,延长EF,DA交于点G,连接GB,;因为AF∥DE,DE=3AF,

所以因为BM=BD,所以

所以所以AM∥GB,

又AM?平面BEF,GB?平面BEF,

所以AM∥平面BEF.;【规律方法】

1.灵活应用几何特征

证明线面位置关系不仅要考虑线面位置关系的判定和性质,更要注意几何体中几何特征的灵活应用.;2.灵活进行位置关系转化

证明的依据是空间线面位置关系的判定定理和性质定理,根据线线、线面、面面的平行与垂直进行相互转化.也可以通过计算得到线线垂直的关系.;【拓展】空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根???空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.

(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.;考点二探索性问题中的平行与垂直关系

【典例】在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和

ACC1A1都为矩形.

(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1.;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

世纪金榜导学号;【解析】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,

所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.

因为AB,AC为平面ABC内的两条相交直线,

所以AA1⊥平面ABC.

因为直线BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知,

AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内的两条相交直线,

所以BC⊥平面ACC1A1.;(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.;由已知,O为AC1的中点.

连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所

以MD∥AC,MD=AC,OE∥AC,OE=AC,;因此MD∥OE,MD=OE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.

因为直线DE?平面A1MC,MO?平面A1MC.

所以直线DE∥平面A1MC.

即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥

平面A1MC.;【规律方法】

1.探索条件的常用方法:

(1)先猜后证,即先观察与尝试给出的条件