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的特解概括方程对于微分方程方程的特解可设为(2)当是单特征根时,取k=1(3)当是重特征根时,取k=2.(1)当不是特征根时,取k=0k的取法:例求方程解求导得例解故得对应齐次方程的通解为解得因是特征方程的重根,取k=2.设特解为将代入式,即②得例解(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再求所给方程的一个特解y*.设所求特解为(3)确定满足初始条件的特解.二阶常系数线性非齐次微分方程为此时方程的特解形式其中a,b为待定系数,k的取法如下:(1)当不是特征根时,取k=0(2)当是单特征根时,取k=1k=二阶常系数线性非齐次微分方程为此时方程的特解形式其中a,b为待定系数,k的取法如下:(1)当不是特征根时,取k=0(2)当是单特征根时,取k=1k=特殊地,方程为此时方程的特解形式其中为待定多项式.(1)当不是特征根时,取k=0(2)当是单特征根时,取k=1k=一般地,例解原方程的一个特解为例解解得例解(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再求所给方程的一个特解y*.有例解由前例可知方程方程的特解为的特解为第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第四节二阶常系数线性微分方程当时,方程形如二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的概念的方程,称为称为二阶线性齐次微分方程.当时,方程称为二阶线性非齐次微分方程./当时,方程形如称为二阶常系数线性微分方程.常系数线性齐次微分方程.当时,方程二阶常系数线性非齐次微分方程./的方程称为二阶称为二阶常系数线性微分方程的概念因为为方程的解,所以一、二阶常系数线性微分方程解的结构定理设y1(x),y2(x)是方程的两个解,则也是该方程的解,其中C1,C2是任意常数.证1.二阶常系数线性齐次微分方程通解结构所以是方程的解.此定理表明,二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合,仍是方程的解.问题:满足何条件线性组合为二阶线性齐次微分方程的通解?定义设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2),使得对于该区间内的一切x,有成立,则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关,否则称y1(x)与y2(x)线性无关.为了回答此问题,在此给出线性相关与无关概念.定理如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解,则就是方程的通解.此定理表明要求二阶常系数线性齐次微分方程通解只需求其两个线性无关的特解y1(x)与y2(x),作线性组合即可.例验证为二阶常系数线性齐次微分方程通解.解将代入方程易证满足方程.由
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