数学（浙江专用）总复习教师用书：第八章 立体几何与空间向量 第讲 空间向量及其运算 .docxVIP

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第6讲空间向量及其运算

最新考纲1。了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3。掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知识梳理

1.空间向量的有关概念

名称

概念

表示

零向量

模为0的向量

0

单位向量

长度(模）为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a的相反向量为－a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理

空间两个向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.

推论如图所示,点P在l上的充要条件是eq\o(OP，\s\up6(→)）＝eq\o(OA，\s\up6（→)）＋ta①

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a，则①可化为eq\o(OP，\s\up6(→)）＝eq\o（OA,\s\up6(→））＋teq\o(AB,\s\up6（→))或eq\o(OP，\s\up6(→))＝（1－t）eq\o(OA，\s\up6（→)）＋teq\o（OB，\s\up6（→))。

（2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为eq\o（MP,\s\up6（→）)＝xeq\o(MA,\s\up6（→））＋yeq\o（MB,\s\up6(→)）或对空间任意一点O,有eq\o（OP,\s\up6（→))＝eq\o（OM,\s\up6（→））＋xeq\o（MA,\s\up6(→))＋yeq\o（MB，\s\up6（→))或eq\o（OP,\s\up6（→))＝xeq\o（OM,\s\up6(→)）＋yeq\o(OA，\s\up6(→）)＋zeq\o(OB，\s\up6（→)）,其中x＋y＋z＝1.

(3）空间向量基本定理

如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1,λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1,e2，e3叫作这个空间的一个基底。

3.空间向量的数量积及运算律

(1）数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o（OA,\s\up6（→)）＝a，eq\o（OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是［0，π］,若〈a，b〉＝eq\f（π，2），则称a与b互相垂直,记作a⊥b。

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则｜a||b｜cos〈a，b〉叫做向量a,b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉.

(2）空间向量数量积的运算律

①结合律:(λa)·b＝λ（a·b）；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c）＝a·b＋a·c.

4。空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3),b＝（b1，b2,b3)。

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb(b≠0,λ∈R）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0

(a≠0,b≠0）

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a｜

eq\r(aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al（2，3））

夹角

〈a，b（a≠0，b≠0）

cos〈a,b〉＝

eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al（2,2)＋aeq\o\al（2，3)）·\r(beq\o\al(2,1）＋beq\o\al（2,2）＋beq\o\al(2，3））)

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×)

（1)空间中任意两非零向量a,b共面（)

（2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b（)

（3）若｛a，b，c}是空间的一个基底,则a，b，c中至多有一个零向量()

(4）若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角（）

解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于（3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b,c共面，所以(3）不正确；对于（4)，若〈a,b〉＝π，则a·b0,故（4）不正确。

答案(1)√(2)×(3）×（4)×

2.在空间直角坐标系中，A（1，