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2023-2024学年上海市静安区市北中学高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.是成立的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2.与一定相等是()
A. B. C. D.
3.使取最小值的的集合是
A. B.
C. D.
4.在非等边斜三角形中,为外接圆半径,为的面积,下列式子中正确的是()
A
B.
C.
D.
二、填空题:本题共10小题,共35分.
5.的角所对应的弧度数为__________.
6.在中,已知,,,则角大小为__.
7.函数的定义域为________.
8.已知,则的值为________.
9.函数的最小正周期是______.
10.方程,,则______用反三角函数表示
11.已知奇函数的一个周期为2,当时,,则___________.
12.若函数在区间上是严格增函数,则实数的取值范围为______.
13.已知点的坐标为,将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______.
14.若函数有2个零点,则实数a的取值范围是______.
三、解答题:本题共5小题,共49分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知,.
(1)求的值;
(2)若角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的正半轴重合,且终边经过点,求的值.
16.幂函数的图像关于y轴对称,且在区间上是严格增函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)对任意实数,不等式恒成立,求实数t的取值范围.
17.已知下列是两个等式:
①;
②;
(1)请写出一个更具一般性关于三角的等式,使上述两个等式是它的特例;
(2)请证明你的结论;
18.如图,有一块扇形草地,已知半径为R,,现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用,其中点A,B在弧上,且线段平行于线段;
(1)若点A为弧的一个三等分点,求矩形的面积S;
(2)设,当A在何处时,矩形的面积S最大?最大值为多少?
19.某同学用“五点法”画函数,在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
0
0
1
0
0
0
0
0
(1)请填写上表的空格处,并写出函数的解析式;
(2)将函数的图象向右平移个单位,再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递增区间;
(3)在(2)的条件下,若在上恰有奇数个零点,求实数的值.
2023-2024学年上海市静安区市北中学高一(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.是成立的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】判断和之间的逻辑推理关系,即得答案.
【详解】当时,,此时,
即推不出成立;
当时,,此时,
即推不出成立;
故是成立的既非充分也非必要条件,
故选:D
2.与一定相等的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先利用诱导公式对化简,然后再利用诱导公式对各选项化简分析判断即可.
【详解】解:,
对于A,,所以A错误;
对于B,,所以B错误;
对于C,,所以C错误;
对于D,,所以D正确.
故选:D.
3.使取最小值的的集合是
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用三角函数的取值范围,求得当取何值时,函数取得最小值.
【详解】由于,所以当时,函数取得最小值为.故使取最小值的集合是.
故选A.
【点睛】本小题主要考查含有余弦型函数何时取得最小值,考查三角函数的性质,属于基础题.
4.在非等边斜三角形中,为的外接圆半径,为的面积,下列式子中正确的是()
A.
B
C.
D.
【答案】C
【分析】对于A,利用诱导公式化简已知可得2cos2cos1=0,解方程可解得cos的值,可求范围∈(0,),即可判断;
对于B,利用SabsinC=2R2sinAsinBsinC判定;
对于C,利用tanA=﹣tan(B+C),计算即可;
对于D,利用正弦定理,同角三角函数基本关系式可求A=B=C,结合已知即可判断得解.
【详解】解:对于A,因为sinsin()=cos,
若cosA=sin,则可得2cos2cos1=0,解得cos1,或,
因为A∈(0,π),可得∈(0,),可得cos∈(0,1),故错误;
对于B,SabsinC?2RsinA?2RsinB?sinC=2R2sinAsinBsinC,故错误;
对于C,因为△ABC为非直角三角形,所以tanA=﹣tan(
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