高中数学期末备考微专题55讲解析几何23二次曲线系及应用含解析.docVIP

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23.二次曲线系及应用

若两条直线与二次曲线

有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.

结论1抛物线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

结论2圆锥曲线的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.

定理1若两条二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆.

证明：过这四个交点的二次曲线肯定能表示成以下形式不同时为0)：

①

式①左边的绽开式中不含的项，选时，再令式①左边的绽开式中含项的系数相等，得,此时曲线①即

②

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.

定理2

若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.

证明由组成的曲线即

所以经过它与的四个交点的二次曲线肯定能表示成以下形式不同时为0)：

③

必要性.若四个交点共圆，则存在使方程③表示圆，所以式③左边的绽开式中含项的系数.而(否则③表示曲线，不表示圆)，所以.

充分性.当时，式③左边的绽开式中不含的项，选时，再令式③左边的绽开式中含项的系数相等，即，得.

此时曲线③即

④

的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.

推论1若两条直线与二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.

证明设两条直线为，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是.

(1)当即时，得四个交点共圆的充要条件即也即或.

(2)当与不平行即时，由得，所以四个交点共圆的充要条件即也即直线的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.

例1(2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，，证明：.

解(1)(过程略)椭圆的方程是.

(2)设，，线段的中点为.

可得，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得

所以，由推论1得四点共圆.

再由相交弦定理，立得.

例2.(2014年全国中学数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A、B为双曲线上的两点，点N(1,2)为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点.

(1)确定的取值范围；

(2)试推断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由.

解析：（1）用点差法可求得直线AB的方程是，由直线AB与双曲线交于不同的两点，可得且.

得直线CD的方程是，由直线CD与双曲线交于不同的两点，可得且.所以的取值范围是.

在(1)的解答中已，所以由推论1立得四点共圆.

例3(2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C：的焦点为，直线与y轴的交点为，与的交点为，且.

(1)求的方程；

(2)过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，且四点在同一圆上，求的方程.

(答案：(1)；(2)或.)