第二节　等差数列 -2025年高考数学一轮复习讲练测.docx

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第二节等差数列

课程目标

课程目标

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3.体会等差数列与一元一次函数的关系.

基础知识

基础知识

1.等差数列的有关概念

（1）定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d表示，符号表示为（n∈N*，d为常数）.

提醒在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0?{an}为递增数列；②d＝0?{an}为常数列；③d＜0?{an}为递减数列.

（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项.

2.等差数列的有关公式

（1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）?当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差；

（2）前n项和公式：Sn＝n（a1＋an）2Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n?当d≠0时

3.等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）；

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an；

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列；

（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为.

基础自测

基础自测

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（）

（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（）

（3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（）

（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（）

2.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝（）

A.－6 B.6

C.－10 D.10

3.已知等差数列{an}，若a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（）

A.20 B.24

C.28 D.32

4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝.

5.在首项为28的等差数列{an}中，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是.

常用结论

1.若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则anbn

2.若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的

3.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，S奇S偶

4.若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；S奇S偶＝nn－1；S奇－S偶＝

结论运用

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2023，且S20242024－S2023

A.0 B.1

C.2023 D.2024

2.在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝.

3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为.

4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn＝7n+33n+8

聚焦考点课堂演练

聚焦考点课堂演练

考点1等差数列基本量的运算

考点1等差数列基本量的运算

性

【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（）

A.25 B.22

C.20 D.15

（2）（多选）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是（）

A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5

C.Sn＝n（n－4） D.d＝－2

方法技巧

等差数列基本量运算的常见类型及解题策略

（1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想；

（2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素；

（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；

（4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

跟踪训练

1.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（）

A.6 B.7

C.8 D.9

2.在我国古代